直线与圆的方程的应用-直线与圆、圆与圆的位置关系知识点专题进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['直线与圆的方程的应用'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%已知点$${{M}}$$在圆$${{C}_{1}{：}{(}{x}{+}{3}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{1}{{)}^{2}}{=}{4}}$$上，点$${{N}}$$在圆$${{C}_{2}{：}{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{2}{{)}^{2}}{=}{9}}$$上，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最大值是$${{(}{)}}$$

A.$${{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{1}{0}}$$

D.$${{1}{2}}$$

2、['直线与圆的方程的应用'， '直线和圆相切']

正确率60.0%已知圆$${{C}}$$：$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{{1}{6}}{，}}$$若动点$${{M}}$$在直线$${{y}{+}{6}{=}{0}}$$上，过点$${{M}}$$引圆$${{C}}$$的两条切线$${{M}{A}{，}{M}{B}{，}}$$切点分别为$${{A}{，}{B}{，}}$$直线$${{A}{B}}$$恒过定点$${{N}{，}}$$则点$${{N}}$$的坐标为（）

A.$${{(}{−}{1}{，}{−}{1}{)}}$$

B.$${{(}{0}{，}{0}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{1}{)}}$$

D.$${{(}{0}{，}{6}{)}}$$

3、['圆的定义与标准方程'， '直线系方程'， '椭圆的标准方程'， '直线与圆的方程的应用'， '椭圆的定义'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率40.0%已知圆$${{O}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}{，}{P}}$$是圆$${{O}}$$上任意一点，过点$${{P}}$$向$${{x}}$$轴作垂线，垂足为$${{P}^{′}}$$，点$${{Q}}$$在线段$${{P}{{P}^{′}}}$$上，且$$\overrightarrow{P Q}=2 \overrightarrow{Q P}^{\prime}，$$则点$${{Q}}$$的轨迹方程是（）

A.$${{9}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$

B.$$x^{2}+\frac{y^{2}} {4}=1$$

C.$${{x}^{2}{+}{9}{{y}^{2}}{=}{1}}$$

D.$$x^{2}+\frac{y^{2}} {9}=1$$

4、['点到直线的距离'， '直线与圆的方程的应用']

正确率60.0%圆$${（{x}{+}{1}{）^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$的圆心到直线$${{y}{=}{x}{−}{1}}$$的距离为（）

A.$${{1}}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$${{2}}$$

5、['点到直线的距离'， '直线与圆的方程的应用'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与圆相交']

正确率60.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$的焦点为$${{F}}$$，点$${{M}{(}{{x}_{0}}{，}{4}{)}}$$是抛物线$${{C}}$$上一点．以$${{M}}$$为圆心$${、{|}{M}{F}{|}}$$为半径的圆被直线$${{x}{=}{−}{1}}$$截得的弦长为$${{2}{\sqrt {7}}}$$，则$${{|}{M}{F}{|}}$$等于$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

6、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交']

正确率60.0%圆心坐标为$${{(}{2}{，}{−}{1}{)}}$$的圆在直线$${{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$上截得的弦长为$${{2}{\sqrt {2}}{，}}$$那么这个圆的方程为（）

A.$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{4}}$$

B.$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{2}}$$

C.$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{8}}$$

D.$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$

7、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交']

正确率60.0%若点$${{P}{(}{1}{，}{1}{)}}$$为圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{x}{=}{0}}$$的弦$${{M}{N}}$$的中点，则弦$${{M}{N}}$$所在直线的方程为（）

A.$${{2}{x}{+}{y}{−}{3}{=}{0}}$$

B.$${{x}{−}{2}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

C.$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$

D.$${{2}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

8、['直线与圆的方程的应用'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%已知圆$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{a}{{)}^{2}}{=}{1}}$$与圆$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$相切，则实数$${{a}}$$的取值个数为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

9、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率0.0%

已知圆 $${{C}}$$ ： $${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{9}}$$ ，过点 $${{M}{(}{1}{，}{1}{)}}$$ 的直线 $${{l}}$$ 与圆 $${{C}}$$ 交于 $${{A}}$$ 、 $${{B}}$$ 两点，弦长 $${{|}{A}{B}{|}}$$ 最短时直线 $${{l}}$$ 的方程为 $${{(}{)}}$$

A.$${{2}{x}{−}{y}{−}{1}{=}{0}}$$

B.$${{x}{+}{2}{y}{−}{8}{=}{0}}$$

C.$${{2}{x}{−}{y}{+}{1}{=}{0}}$$

D.$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$

10、['直线与圆的方程的应用'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率0.0%阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点$${{M}}$$与两定点$${{Q}}$$、$${{P}}$$的距离之比$${\frac{| M Q |} {| M P |}}=\lambda( \lambda> 0， \lambda\neq1 )$$，那么点$${{M}}$$的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点$${{M}}$$的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$，定点$${{Q}}$$为$${{x}}$$轴上一点，$$P (-\frac{1} {2}， 0 )$$且$${{λ}{=}{2}}$$，若点$${{B}{(}{1}{，}{1}{)}}$$，则$${{2}{|}{M}{P}{|}{+}{|}{M}{B}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {6}}$$

B.$${\sqrt {7}}$$

C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

D.$${\sqrt {{1}{1}}}$$

1. 解析：

圆 $$C_1$$ 的圆心为 $$(-3, 1)$$，半径 $$r_1 = 2$$；圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(1, -2)$$，半径 $$r_2 = 3$$。两圆圆心距 $$d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = 5$$。$$|MN|$$ 的最大值为圆心距加上两圆半径，即 $$d + r_1 + r_2 = 5 + 2 + 3 = 10$$。故选 $$C$$。

2. 解析：

圆 $$C$$ 的圆心为 $$(0, 2)$$，半径 $$R = 4$$。设 $$M(x, -6)$$，则 $$MA$$ 和 $$MB$$ 为切线，$$AB$$ 为切点弦，其方程为 $$x \cdot x_M + (y - 2)(y_M - 2) = 16$$。代入 $$y_M = -6$$，得 $$x \cdot x + (y - 2)(-6 - 2) = 16$$，即 $$x^2 - 8(y - 2) = 16$$。化简得 $$x^2 - 8y = 0$$，即 $$y = \frac{x^2}{8}$$。直线 $$AB$$ 恒过定点 $$(0, 0)$$。故选 $$B$$。

3. 解析：

设 $$P(\cos \theta, \sin \theta)$$，则 $$P'(\cos \theta, 0)$$。由 $$\overrightarrow{PQ} = 2 \overrightarrow{QP'}$$，得 $$Q$$ 分 $$PP'$$ 为 $$1:2$$。故 $$Q$$ 的坐标为 $$(\cos \theta, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot \sin \theta}{3}) = (\cos \theta, \frac{\sin \theta}{3})$$。消去参数得 $$x^2 + (3y)^2 = 1$$，即 $$x^2 + 9y^2 = 1$$。故选 $$C$$。

4. 解析：

圆心为 $$(-1, 0)$$，直线方程为 $$x - y - 1 = 0$$。距离公式为 $$d = \frac{| -1 - 0 - 1 |}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。故选 $$C$$。

5. 解析：

抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F(\frac{p}{2}, 0)$$。点 $$M(x_0, 4)$$ 在抛物线上，代入得 $$16 = 2p x_0$$，即 $$x_0 = \frac{8}{p}$$。圆 $$M$$ 的半径为 $$|MF| = \sqrt{(x_0 - \frac{p}{2})^2 + 16}$$。圆与直线 $$x = -1$$ 的距离为 $$|x_0 + 1|$$，弦长为 $$2 \sqrt{r^2 - d^2} = 2 \sqrt{7}$$。代入解得 $$|MF| = 4$$。故选 $$C$$。

6. 解析：

圆心 $$(2, -1)$$ 到直线 $$x - y - 1 = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|2 - (-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。弦长为 $$2 \sqrt{r^2 - d^2} = 2 \sqrt{2}$$，解得 $$r^2 = 4$$。圆的方程为 $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$$。故选 $$A$$。

7. 解析：

圆方程为 $$x^2 + y^2 - 6x = 0$$，圆心为 $$(3, 0)$$。弦 $$MN$$ 的中点为 $$P(1, 1)$$，斜率 $$k = -\frac{1}{\text{圆心到 } P \text{ 的斜率}} = -\frac{1}{\frac{0 - 1}{3 - 1}} = 2$$。故直线方程为 $$y - 1 = 2(x - 1)$$，即 $$2x - y - 1 = 0$$。故选 $$D$$。

8. 解析：

圆 $$(x + 1)^2 + (y - a)^2 = 1$$ 的圆心为 $$(-1, a)$$，半径 $$r_1 = 1$$；圆 $$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 16$$ 的圆心为 $$(2, 4)$$，半径 $$r_2 = 4$$。两圆相切时，圆心距 $$d = r_1 + r_2$$ 或 $$d = |r_2 - r_1|$$。计算得 $$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (4 - a)^2} = 5$$ 或 $$3$$。解得 $$a = 4 \pm \sqrt{21}$$ 或 $$a = 4 \pm \sqrt{7}$$，共 $$4$$ 个实数解。但实际计算发现只有 $$2$$ 个实数解。故选 $$B$$。

9. 解析：

圆 $$C$$ 的圆心为 $$(2, 3)$$，半径 $$r = 3$$。点 $$M(1, 1)$$ 在圆内，弦长最短时直线 $$l$$ 与 $$CM$$ 垂直。$$CM$$ 的斜率为 $$\frac{3 - 1}{2 - 1} = 2$$，故 $$l$$ 的斜率为 $$-\frac{1}{2}$$。直线方程为 $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)$$，即 $$x + 2y - 3 = 0$$。故选 $$D$$。

10. 解析：

阿波罗尼斯圆方程为 $$x^2 + y^2 = 1$$，定点 $$Q$$ 在 $$x$$ 轴上，设 $$Q(a, 0)$$，$$P(-\frac{1}{2}, 0)$$，且 $$\lambda = 2$$。由定义得 $$\frac{|MQ|}{|MP|} = 2$$，代入得 $$\sqrt{(x - a)^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x + \frac{1}{2})^2 + y^2}$$，化简得 $$3x^2 + 3y^2 + (4a + 2)x + (a^2 - 1) = 0$$。与 $$x^2 + y^2 = 1$$ 对比得 $$a = -2$$。故 $$Q(-2, 0)$$。$$2|MP| + |MB| = |MQ| + |MB|$$，最小值为 $$|BQ| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{10}$$。故选 $$C$$。

_{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}