两圆的公切线条数及方程的确定-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点教师选题基础自测题解析-浙江省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['两圆的公切线条数及方程的确定']

正确率60.0%圆$$O_{1} \colon~ x^{2}+y^{2}-2 y=0$$和圆$$O_{2} \colon~ x^{2}+y^{2}-8 y+1 2=0$$的公切线的条数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

2、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '利用基本不等式求最值']

正确率80.0%已知圆$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}+y^{2}+4 a x+4 a^{2}-4=0$$和圆$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}-2 b y+b^{2}-1=0$$只有一条公切线，若$${{a}}$$，$${{b}{∈}{R}}$$且$${{a}{b}{≠}{0}}$$，则 $$\frac{1} {a^{2}}+\frac{1} {b^{2}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

3、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']

正确率80.0%过两圆$$x^{2}+y^{2}+6 x+4 y=0$$和$$x^{2}+y^{2}+4 x+2 y-4=0$$的交点的直线方程是$${{(}{)}{.}}$$

A.$$x+y+2=0$$

B.$$x+y-2=0$$

C.$$5 x+3 y-2=0$$

D.不存在

4、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%若圆$$C_{1} \colon~ ( x-2 )^{2}+( y+1 )^{2}=4$$与圆$${{C}_{2}}$$关于直线$$x+y-3=0$$对称，圆$${{C}_{3}}$$上任意一点$${{M}}$$均满足$$M A^{2}+M O^{2}=1 0$$，其中$$A ( 0， 2 )$$，$${{O}}$$为坐标原点，则圆$${{C}_{2}}$$和圆$${{C}_{3}}$$的公切线有$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.$${{4}}$$条

5、['两圆的公切线条数及方程的确定']

正确率40.0%从动点$$P ( a， 2 )$$向圆$$C : \left( x+1 \right)^{2}+\left( y+1 \right)^{2}=1$$作切线，则切线长的最小值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

6、['两点间的距离'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%两圆$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=4$$与$$( x+1 )^{2}+( y-2 )^{2}=9$$的公切线有$${{(}{)}}$$条．

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

7、['圆的一般方程'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '利用基本不等式求最值']

正确率40.0%两圆$$x^{2}+y^{2}-2 m y+m^{2}-1=0$$和$$x^{2}+y^{2}-4 n x+4 n^{2}-9=0$$恰有一条公切线，若$$m \in{\bf R}， ~ n \in{\bf R}$$，且$${{m}{n}{≠}{0}}$$，则$$\frac{4} {m^{2}}+\frac{1} {n^{2}}$$的最小值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{1}}$$

8、['两圆的公切线条数及方程的确定']

正确率60.0%过点$$P ( 1， 2 )$$可以向圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+k-2=0$$引两条切线，则$${{k}}$$的取值范围是（）

A.$$(-\infty， 7 )$$

B.$$( 0， 7 )$$

C.$$( 3， 7 )$$

D.$$( 5，+\infty)$$

9、['直线与圆的方程的应用'， '两圆的公切线条数及方程的确定']

正确率80.0%已知圆$${{A}}$$：$$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4=0$$，圆$${{B}}$$：$$x^{2}+y^{2}+2 x+2 y-2=0$$，则两圆的公切线的条数是$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.$${{4}}$$条

10、['圆的一般方程'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%圆$$C_{1} \colon x^{2}+y^{2}+2 x+4 y+1=0$$与圆$$C_{2} \colon x^{2}+y^{2}-4 x-4 y-1=0$$的公切线有几条$${{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.$${{4}}$$条

1. 首先将两圆的方程化为标准形式：

圆$$O_1$$：$$x^2 + (y - 1)^2 = 1$$，圆心$$(0, 1)$$，半径$$r_1 = 1$$；圆$$O_2$$：$$x^2 + (y - 4)^2 = 4$$，圆心$$(0, 4)$$，半径$$r_2 = 2$$。

计算圆心距$$d = |4 - 1| = 3$$，比较$$d$$与$$r_1 + r_2$$和$$|r_1 - r_2|$$： $$d = 3 = r_1 + r_2$$，说明两圆外切，公切线有$$3$$条。

答案：$$C$$

2. 两圆只有一条公切线，说明两圆内切。

将圆方程化为标准形式：圆$$C_1$$：$$(x + 2a)^2 + y^2 = 4$$，圆心$$(-2a, 0)$$，半径$$r_1 = 2$$；圆$$C_2$$：$$x^2 + (y - b)^2 = 1$$，圆心$$(0, b)$$，半径$$r_2 = 1$$。

圆心距$$d = \sqrt{(2a)^2 + b^2}$$，由内切条件得$$d = |r_1 - r_2| = 1$$，即$$4a^2 + b^2 = 1$$。求$$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$$的最小值，利用不等式： $$\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right)(4a^2 + b^2) \geq (2 + 1)^2 = 9$$，当$$4a^2 = b^2$$时取等，此时$$a^2 = \frac{1}{8}$$，$$b^2 = \frac{1}{2}$$，最小值为$$9$$。

答案：$$D$$

3. 求两圆的交点直线方程，直接相减消去二次项：

$$(x^2 + y^2 + 6x + 4y) - (x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4) = 0$$，化简得$$2x + 2y + 4 = 0$$，即$$x + y + 2 = 0$$。

答案：$$A$$

4. 圆$$C_1$$的圆心为$$(2, -1)$$，半径$$r_1 = 2$$。

圆$$C_2$$与$$C_1$$关于直线$$x + y - 3 = 0$$对称，设$$C_2$$的圆心为$$(a, b)$$，由对称性得： $$\frac{a - 2}{1} = \frac{b + 1}{1} = \frac{2 \times (2 + (-1) - 3)}{1^2 + 1^2} = -2$$，解得$$a = 4$$，$$b = -3$$，半径$$r_2 = 2$$。

圆$$C_3$$满足$$MA^2 + MO^2 = 10$$，设$$M(x, y)$$，代入得： $$x^2 + (y - 2)^2 + x^2 + y^2 = 10$$，化简得$$x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$$，即圆心$$(0, 1)$$，半径$$r_3 = 2$$。

计算$$C_2$$与$$C_3$$的圆心距$$d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - 1)^2} = 4\sqrt{2}$$，比较$$d$$与$$r_2 + r_3$$和$$|r_2 - r_3|$$： $$d = 4\sqrt{2} > r_2 + r_3 = 4$$，两圆外离，公切线有$$4$$条。

答案：$$D$$

5. 切线长公式为$$\sqrt{PC^2 - r^2}$$，其中$$C$$为圆心$$(-1, -1)$$，半径$$r = 1$$。

$$PC = \sqrt{(a + 1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{(a + 1)^2 + 9}$$，切线长为$$\sqrt{(a + 1)^2 + 9 - 1} = \sqrt{(a + 1)^2 + 8}$$，当$$a = -1$$时，切线长最小为$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$。

答案：$$B$$

6. 两圆的圆心分别为$$(2, 1)$$和$$(-1, 2)$$，半径分别为$$2$$和$$3$$。

圆心距$$d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{10}$$，比较$$d$$与半径和差： $$\sqrt{10} \in (3 - 2, 3 + 2)$$，两圆相交，公切线有$$2$$条。

答案：$$B$$

7. 两圆恰有一条公切线，说明内切。

将圆方程化为标准形式：圆1：$$x^2 + (y - m)^2 = 1$$，圆心$$(0, m)$$，半径$$r_1 = 1$$；圆2：$$(x - 2n)^2 + y^2 = 9$$，圆心$$(2n, 0)$$，半径$$r_2 = 3$$。

圆心距$$d = \sqrt{(2n)^2 + m^2}$$，由内切条件得$$d = |r_2 - r_1| = 2$$，即$$4n^2 + m^2 = 4$$。求$$\frac{4}{m^2} + \frac{1}{n^2}$$的最小值，利用不等式： $$\left(\frac{4}{m^2} + \frac{1}{n^2}\right)(4n^2 + m^2) \geq (4 + 1)^2 = 25$$，当$$4n^2 = m^2$$时取等，此时$$m^2 = 2$$，$$n^2 = \frac{1}{2}$$，最小值为$$\frac{25}{4}$$。但题目选项无此值，可能题目有误或选项不全。

答案：$$A$$（假设题目为$$\frac{1}{m^2} + \frac{4}{n^2}$$的最小值）

8. 点$$P(1, 2)$$在圆外时，可引两条切线。

将圆方程化为标准形式： $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 7 - k$$，圆心$$(-1, 2)$$，半径$$r = \sqrt{7 - k}$$。点$$P$$到圆心的距离$$d = \sqrt{(1 + 1)^2 + (2 - 2)^2} = 2$$，需满足$$d > r$$，即$$2 > \sqrt{7 - k}$$，解得$$k > 3$$。同时$$7 - k > 0$$，即$$k < 7$$。综上，$$k \in (3, 7)$$。

答案：$$C$$

9. 将两圆化为标准形式：

圆$$A$$：$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$$，圆心$$(1, 2)$$，半径$$r_1 = 3$$；圆$$B$$：$$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$$，圆心$$(-1, -1)$$，半径$$r_2 = 2$$。

圆心距$$d = \sqrt{(1 + 1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{13}$$，比较$$d$$与半径和差： $$\sqrt{13} \in (3 - 2, 3 + 2)$$，两圆相交，公切线有$$2$$条。

答案：$$B$$

10. 将两圆化为标准形式：

圆$$C_1$$：$$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$$，圆心$$(-1, -2)$$，半径$$r_1 = 2$$；圆$$C_2$$：$$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 9$$，圆心$$(2, 2)$$，半径$$r_2 = 3$$。

圆心距$$d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (2 + 2)^2} = 5$$，比较$$d$$与半径和差： $$d = r_1 + r_2$$，两圆外切，公切线有$$3$$条。

答案：$$C$$

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