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正确率40.0%已知直线$${{k}{x}{−}{3}{−}{y}{=}{0}}$$与圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{=}{3}}$$的一个交点为$${{P}}$$，圆$${{C}}$$与$${{x}}$$轴交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则当$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积最大时，$${{k}}$$的值是（）
A
A.$${{1}}$$和$${{5}}$$
B.$${{1}}$$和$${{−}{3}}$$
C.$$\frac{-3-2 \sqrt6} {3}$$和$${{−}{3}}$$
D.$$\frac{-3-2 \sqrt6} {3}$$和$$\frac{-3+2 \sqrt6} {3}$$
2、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '三角形的面积（公式）']正确率60.0%已知点$${{O}{(}{0}{，}{0}{)}{，}{A}{(}{0}{，}{2}{)}}$$，点$${{M}}$$是圆$${{(}{x}{−}{3}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{4}}$$上的动点，则$${{△}{O}{A}{M}}$$面积的最小值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['圆的定义与标准方程'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']正确率40.0%若实数$${{x}{，}{y}}$$满足$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{4}{x}{−}{2}{y}{+}{4}{=}{0}}$$，则$$\frac{y} {x}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
C
A.$$(-\infty，-\frac{4} {3} ] \cup[ 0，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-\frac{3} {4} ] \cup[ 0，+\infty)$$
C.$$[-\frac{4} {3}， 0 ]$$
D.$$\left[-\frac{3} {4}， 0 \right]$$
4、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']正确率40.0%已知点$${{M}}$$是直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{2}{=}{0}}$$上的动点，点$${{N}}$$为圆$${（{x}{+}{1}{）^{2}}{+}{（}{y}{+}{1}{）^{2}}{=}{1}}$$上的动点，则$${{|}{M}{N}{|}}$$的最小值为（）
C
A.$$\frac{9} {5}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{1 3} {5}$$
5、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{=}{0}}$$与曲线$${{y}{=}{|}{x}{|}{−}{1}}$$的公共点个数为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
6、['圆上的点到直线的最大（小）距离']正确率60.0%若圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{x}{−}{6}{y}{+}{6}{=}{0}}$$有且仅有三个点到直线$${{x}{+}{{a}{y}}{+}{1}{=}{0}}$$的距离为$${{1}}$$，则实数$${{a}}$$的值为（）
B
A.$${{±}{1}}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt{2}} {4}$$
C.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
7、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '两条直线垂直'， '直线和圆相切']正确率60.0%已知圆$${{C}{:}{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$，直线$${{l}{:}{y}{=}{k}{x}{−}{2}}$$，若直线$${{l}}$$上存在点$${{P}}$$，过点$${{P}}$$引圆的两条切线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$，使得$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，则实数$${{k}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{[}{0}{，}{2}{−}{\sqrt {3}}{)}{∪}{{(}{2}{+}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}}$$
B.$${{[}{2}{−}{\sqrt {3}}{，}{2}{+}{\sqrt {3}}{]}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{0}{)}}$$
D.$${{[}{0}{，}{+}{∞}{)}}$$
8、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线和圆相切']正确率40.0%设直线$${{l}{：}{3}{x}{+}{4}{y}{+}{2}{=}{0}}$$，圆$${{C}{：}{{(}{x}{−}{2}{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{2}}$$，若$${{P}}$$是直线$${{l}}$$上任意一点，过点$${{P}}$$作圆$${{C}}$$的切线，设切点为$${{F}{，}{G}}$$，则四边形$${{C}{F}{P}{G}}$$面积的最小值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{1 4}} {5}$$
B.$$\frac{7} {5}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{7}} {5}$$
D.$$\frac{1 4} {5}$$
9、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '根据方程研究曲线的性质']正确率60.0%若点$${{P}{(}{x}{，}{y}{)}}$$满足$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{2}{y}{−}{2}{⩽}{0}}$$，则点$${{P}}$$到直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{{2}{2}}{=}{0}}$$的最大距离是 （）
A
A.$${{5}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${\sqrt {2}{−}{{1}{1}}}$$
D.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
10、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%点$${{M}}$$在圆$${{(}{x}{−}{5}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{9}}$$上，则$${{M}}$$点到直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的最短距离为$${{(}{)}}$$
A.$${{9}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{2}}$$
1. 首先将圆的方程化为标准形式：$$x^2 + y^2 - 2x = 3$$ 即 $$(x-1)^2 + y^2 = 4$$，圆心为 $$(1,0)$$，半径 $$r=2$$。圆与 $$x$$ 轴的交点为 $$A(-1,0)$$ 和 $$B(3,0)$$，故 $$AB=4$$。直线方程为 $$kx - y - 3 = 0$$。要使 $$\triangle PAB$$ 面积最大，需 $$P$$ 点到 $$AB$$ 的距离最大，即 $$P$$ 为圆上离 $$AB$$ 最远的点，也就是圆心 $$(1,0)$$ 在直线上的投影点。计算直线到圆心的距离 $$d = \frac{|k \cdot 1 - 0 - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|k - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。由于 $$P$$ 在圆上，最大距离为 $$d + r = \frac{|k - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} + 2$$。但更简单的方法是注意到面积最大时 $$P$$ 的纵坐标为 $$\pm 2$$（圆的最高点和最低点），代入直线方程得 $$k=1$$ 或 $$k=-3$$。因此答案为 B。
2. 圆方程为 $$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$$，圆心 $$(3,-1)$$，半径 $$r=2$$。$$O(0,0)$$ 和 $$A(0,2)$$ 在 $$y$$ 轴上，$$OA=2$$。$$M$$ 为圆上动点，$$\triangle OAM$$ 面积最小值为 $$\frac{1}{2} \times OA \times d$$，其中 $$d$$ 为 $$M$$ 到 $$OA$$ 的最小距离。$$OA$$ 为 $$x=0$$，圆心到 $$OA$$ 的距离为 $$3$$，故 $$d_{\text{min}} = 3 - r = 1$$，面积最小值为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$$。答案为 A。
3. 将方程化为标准圆形式：$$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 1$$，圆心 $$(-2,1)$$，半径 $$r=1$$。$$\frac{y}{x}$$ 表示圆上点与原点连线的斜率。设斜率为 $$k$$，直线 $$y=kx$$ 与圆相切时，距离条件为 $$\frac{| -2k -1 |}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$$，解得 $$k=0$$ 或 $$k=-\frac{4}{3}$$。因此 $$\frac{y}{x}$$ 的取值范围为 $$(-\infty, -\frac{4}{3}] \cup [0, +\infty)$$，答案为 A。
4. 圆心为 $$(-1,-1)$$，半径 $$r=1$$。直线 $$3x + 4y - 2 = 0$$ 到圆心的距离为 $$d = \frac{|3 \times (-1) + 4 \times (-1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{9}{5}$$。$$|MN|_{\text{min}} = d - r = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$$，答案为 C。
5. 圆方程为 $$x^2 + (y-1)^2 = 1$$，圆心 $$(0,1)$$，半径 $$r=1$$。曲线 $$y=|x|-1$$ 分为两部分：$$y=x-1$$（$$x \geq 0$$）和 $$y=-x-1$$（$$x \leq 0$$）。分别求交点：
(1) $$x^2 + (x-2)^2 = 1$$ 解得 $$x=1$$（唯一解）；
(2) $$x^2 + (-x-2)^2 = 1$$ 解得 $$x=-1$$（唯一解）。
此外，$$x=0$$ 时圆上点为 $$(0,0)$$ 和 $$(0,2)$$，曲线点为 $$(0,-1)$$，无交点。故总公共点数为 $$2$$，答案为 C。
6. 圆方程为 $$(x+1)^2 + (y-3)^2 = 4$$，圆心 $$(-1,3)$$，半径 $$r=2$$。直线 $$x + a y + 1 = 0$$ 与圆有三个交点，说明直线与圆相交且距离为 $$1$$（因为 $$r=2$$）。距离公式为 $$\frac{| -1 + 3a + 1 |}{\sqrt{1 + a^2}} = 1$$，解得 $$|3a| = \sqrt{1 + a^2}$$，平方得 $$9a^2 = 1 + a^2$$，即 $$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$$，答案为 B。
7. 圆心 $$(2,0)$$，半径 $$r=\sqrt{2}$$。两条切线垂直时，$$P$$ 点在以圆心为圆心、半径为 $$r\sqrt{2}=2$$ 的圆上。直线 $$y=kx-2$$ 与此圆有交点，故距离条件为 $$\frac{|2k - 0 - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} \leq 2$$，化简得 $$|k-1| \leq \sqrt{k^2 + 1}$$，平方后解得 $$k \in [0, +\infty)$$，但需排除 $$k$$ 使得直线与圆 $$C$$ 相交的情况。进一步计算得 $$k \in [0, 2-\sqrt{3}) \cup (2+\sqrt{3}, +\infty)$$，答案为 A。
8. 圆心 $$(2,0)$$，半径 $$r=\sqrt{2}$$。四边形 $$CFPG$$ 面积为 $$2 \times \frac{1}{2} \times r \times PF = r \times \sqrt{PC^2 - r^2}$$。$$PC$$ 的最小值为圆心到直线 $$3x + 4y + 2 = 0$$ 的距离 $$d = \frac{|6 + 0 + 2|}{5} = \frac{8}{5}$$，故最小面积为 $$\sqrt{2} \times \sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2 - 2} = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{64}{25} - \frac{50}{25}} = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{14}}{5} = \frac{2 \sqrt{7}}{5}$$，答案为 C。
9. 圆的方程为 $$(x-1)^2 + (y-1)^2 \leq 4$$，圆心 $$(1,1)$$，半径 $$r=2$$。点 $$P$$ 到直线 $$3x + 4y - 22 = 0$$ 的最大距离为圆心到直线的距离加半径：$$\frac{|3 + 4 - 22|}{5} + 2 = \frac{15}{5} + 2 = 5$$，答案为 A。
10. 圆心 $$(5,3)$$，半径 $$r=3$$。直线 $$3x + 4y - 2 = 0$$ 到圆心的距离为 $$d = \frac{|15 + 12 - 2|}{5} = 5$$。最短距离为 $$d - r = 2$$，答案为 D。