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正确率40.0%已知线段$${{A}{B}}$$是圆$${{C}}$$：$$x^{2}+y^{2}=4$$的一条动弦，且$$| A B |=2 \sqrt{3}，$$若点$${{P}}$$为直线$$x+y-4=0$$上的任意一点，则$$| \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B} |$$的最小值为（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
C.$${{4}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}{+}{2}}$$
2、['点到直线的距离'， '三角形的面积（公式）'， '直线与圆相交'， '利用基本不等式求最值']正确率19.999999999999996%已知点$$A ( 0， 1 )$$，直线$$l {:} y=k x+m$$与圆$$O : x^{2} \!+\! y^{2} \!=\! 1$$交于$${{B}{，}{C}}$$两点，$${{△}{{A}{B}{C}}}$$与$${{△}{{O}{B}{C}}}$$的面积分别为$${{S}_{1}{，}{{S}_{2}}}$$，若$$S_{1} {>} 2 S_{2}$$，且$$\angle B A C=6 0^{\circ}，$$则$${{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$[-\sqrt{3}， \sqrt{3} ]$$
B.$$(-\infty，-\sqrt{3} ] \cup[ \sqrt{3}，+\infty)$$
C.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$(-\infty，-\frac{\sqrt{3}} {3} ] \cup[ \frac{\sqrt{3}} {3}，+\infty)$$
3、['向量加法的定义及运算法则'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '平面向量的概念'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知直线$$l \colon~ y=-2 x-m ~ ( m > 0 )$$与圆$$C \colon~ x^{2}+y^{2}-2 x-2 y-2 3=0$$，直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$相交于不同两点$${{M}{，}{N}}$$．若$$| \overrightarrow{M N} | \leqslant2 | \overrightarrow{C M}+\overrightarrow{C N} |$$，则$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \sqrt{5}， \ 5 )$$
B.$$[ 2， ~ 5 \sqrt{5}-3 )$$
C.（$$5， ~ 5 \sqrt{5} )$$
D.$$( \sqrt{3}， \ 2 )$$
4、['圆的定义与标准方程'， '直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$$y=m x-2$$与圆$$x^{2}+y^{2}-2 x-4 y-4=0$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A B |=6$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{7}}$$
5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知圆$$C_{\colon} ~ x^{2}+~ ( y-3 )^{~ 2}=2$$，点$${{A}}$$是$${{x}}$$轴上的一个动点，$$A P， ~ A Q$$分别切圆$${{C}}$$于$${{P}{，}{Q}}$$两点，则线段$${{P}{Q}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[ \frac{\sqrt{1 4}} {3}， ~ \sqrt{2} )$$
B.$$[ \frac{2 \sqrt{1 4}} {3}， ~ 2 \sqrt{2} )$$
C.$$[ \frac{\sqrt{1 4}} {3}， ~ \sqrt{2} ]$$
D.$$[ \frac{2 \sqrt{1 4}} {3}， ~ 2 \sqrt{2} ]$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知焦点为$${{F}}$$的抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上有一点$$A ( m， ~ 2 \sqrt{2} )$$，以$${{A}}$$为圆心，$${{|}{A}{F}{|}}$$为半径的圆被$${{y}}$$轴截得的弦长为$${{2}{\sqrt {7}}}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
7、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率80.0%已知直线$$l \colon~ 3 x+4 y-1=0$$与圆$$M_{:} \， \， x^{2}+\， \， ( y+1 )^{2}=4$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，则$$| A B |=\c($$）
C
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
8、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率60.0%若圆$$x^{2}+y^{2}=r^{2} \ ( \ r > 0 )$$上仅有$${{4}}$$个点到直线$$x-y-2=0$$的距离为$${{1}}$$，则实数$${{r}}$$的取值范围（）
A
A.$$r > \sqrt2+1$$
B.$$\sqrt2-1 < r < \sqrt2+1$$
C.$$0 < r < \sqrt{2}-1$$
D.$$0 < r < \sqrt{2}+1$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知圆$$P_{\colon} \， \， x^{2}+y^{2}-4 y=0$$及抛物线$$S_{:} \ y=\frac{x^{2}} {8}$$，过圆心$${{P}}$$作直线$${{l}}$$，此直线与两曲线有四个交点，自左向右顺次记为$$A， ~ B， ~ C， ~ D$$．如果线段$$A B， ~ B C， ~ C D$$的长按此顺序构成一个等差数列，则直线$${{l}}$$的方程为（）
B
A.$$y=\frac{\sqrt{2}} {2} x+2$$
B.$$y=-\frac{\sqrt{2}} {2} x+2$$或$$y=\frac{\sqrt{2}} {2} x+2$$
C.$$y=\sqrt{2} x+2$$
D.$$y=\sqrt{2} x+2$$或$$y=-\sqrt{2} x+2$$
10、['点到直线的距离'， '一元二次不等式的解法'， '直线与圆相交'， '双曲线的定义']正确率40.0%方程$$\frac{x^{2}} {r-6}-\frac{y^{2}} {4-r}=1$$表示双曲线，则圆$$\left( x-3 \right)^{2}+\left( y+5 \right)^{2}=r^{2}$$上到直线$$4 x-3 y=2$$的距离等于$${{1}}$$的点有且只有（）
B
A.$${{1}}$$个
B.$${{2}}$$个
C.$${{3}}$$个
D.$${{4}}$$个
1. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 = 4$$，半径为 $$2$$。弦 $$AB$$ 的长度为 $$2\sqrt{3}$$，根据弦长公式，弦心距 $$d = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 1$$。设 $$M$$ 为 $$AB$$ 的中点，则 $$M$$ 到圆心 $$O(0,0)$$ 的距离为 $$1$$，即 $$M$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 上。
向量 $$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} = 2\overrightarrow{PM}$$，因此 $$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| = 2|PM|$$。问题转化为求点 $$P$$ 在直线 $$x + y - 4 = 0$$ 上时，$$|PM|$$ 的最小值。
圆心 $$O(0,0)$$ 到直线 $$x + y - 4 = 0$$ 的距离为 $$\frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1 + 1}} = 2\sqrt{2}$$。由于 $$M$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 上，$$|PM|$$ 的最小值为 $$2\sqrt{2} - 1$$，因此 $$|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}|$$ 的最小值为 $$2(2\sqrt{2} - 1) = 4\sqrt{2} - 2$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
2. 解析：
圆 $$O$$ 的方程为 $$x^2 + y^2 = 1$$，点 $$A(0,1)$$ 在圆上。直线 $$l: y = kx + m$$ 与圆 $$O$$ 相交于 $$B$$ 和 $$C$$ 两点。
由于 $$\angle BAC = 60^\circ$$，弦 $$BC$$ 所对的圆心角为 $$120^\circ$$，因此弦长 $$|BC| = 2 \times 1 \times \sin(60^\circ) = \sqrt{3}$$。
面积关系 $$S_1 > 2S_2$$ 即 $$\frac{1}{2} \times |BC| \times d_A > 2 \times \frac{1}{2} \times |BC| \times d_O$$，化简得 $$d_A > 2d_O$$。其中 $$d_A$$ 是点 $$A$$ 到直线 $$l$$ 的距离，$$d_O$$ 是圆心 $$O$$ 到直线 $$l$$ 的距离。
计算得 $$d_A = \frac{|k \times 0 - 1 + m|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|m - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$，$$d_O = \frac{|m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$。代入不等式得 $$\frac{|m - 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} > 2 \times \frac{|m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$，即 $$|m - 1| > 2|m|$$。
解得 $$m < -1$$ 或 $$m > \frac{1}{3}$$。结合直线与圆相交的条件（判别式大于零），进一步分析可得 $$k$$ 的取值范围为 $$(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$$，圆心 $$C(1,1)$$，半径 $$5$$。直线 $$l: y = -2x - m$$ 与圆 $$C$$ 相交于 $$M$$ 和 $$N$$ 两点。
根据条件 $$|\overrightarrow{MN}| \leq 2|\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN}|$$，注意到 $$\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{CP}$$，其中 $$P$$ 为 $$MN$$ 的中点。因此 $$|MN| \leq 4|CP|$$。
设 $$d$$ 为圆心 $$C$$ 到直线 $$l$$ 的距离，则 $$|MN| = 2\sqrt{25 - d^2}$$，$$|CP| = d$$。代入不等式得 $$2\sqrt{25 - d^2} \leq 4d$$，化简得 $$\sqrt{25 - d^2} \leq 2d$$，平方后得 $$25 - d^2 \leq 4d^2$$，即 $$5d^2 \geq 25$$，$$d \geq \sqrt{5}$$。
又因为直线与圆相交，$$d < 5$$，所以 $$\sqrt{5} \leq d < 5$$。计算 $$d = \frac{|2 \times 1 + 1 \times 1 + m|}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{|3 + m|}{\sqrt{5}}$$，因此 $$\sqrt{5} \leq \frac{|3 + m|}{\sqrt{5}} < 5$$，解得 $$m \in [\sqrt{5}, 5)$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
4. 解析：
圆的方程为 $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$$，圆心 $$(1,2)$$，半径 $$3$$。直线 $$y = mx - 2$$ 与圆相交于 $$A$$ 和 $$B$$ 两点，弦长 $$|AB| = 6$$。
根据弦长公式，弦心距 $$d = \sqrt{3^2 - 3^2} = 0$$，说明直线通过圆心。将圆心 $$(1,2)$$ 代入直线方程得 $$2 = m \times 1 - 2$$，解得 $$m = 4$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
5. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$x^2 + (y - 3)^2 = 2$$，圆心 $$C(0,3)$$，半径 $$\sqrt{2}$$。点 $$A$$ 在 $$x$$ 轴上，设 $$A(a,0)$$。
切线 $$AP$$ 和 $$AQ$$ 的长度为 $$\sqrt{a^2 + 3^2 - 2} = \sqrt{a^2 + 7}$$。弦 $$PQ$$ 的长度为 $$2\sqrt{2 - \frac{2}{a^2 + 7}} \times \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{14}|a|}{\sqrt{a^2 + 7}}$$。
当 $$a \to \infty$$ 时，$$PQ$$ 趋近于 $$2\sqrt{2}$$；当 $$a$$ 最小时，$$PQ$$ 取得最小值 $$\frac{2\sqrt{14}}{3}$$。
因此 $$PQ$$ 的取值范围是 $$\left[\frac{2\sqrt{14}}{3}, 2\sqrt{2}\right)$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 上点 $$A(m, 2\sqrt{2})$$ 满足 $$(2\sqrt{2})^2 = 2pm$$，即 $$m = \frac{4}{p}$$。
焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，半径 $$|AF| = \sqrt{\left(m - \frac{p}{2}\right)^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{p} - \frac{p}{2}\right)^2 + 8}$$。
圆 $$A$$ 被 $$y$$ 轴截得的弦长为 $$2\sqrt{7}$$，因此 $$m^2 + \left(\sqrt{7}\right)^2 = |AF|^2$$，即 $$m^2 + 7 = \left(\frac{4}{p} - \frac{p}{2}\right)^2 + 8$$。
代入 $$m = \frac{4}{p}$$ 并化简得 $$\left(\frac{4}{p} - \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{p}\right)^2 - 1$$，解得 $$p = 2\sqrt{3}$$，因此 $$m = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
7. 解析：
圆 $$M$$ 的方程为 $$x^2 + (y + 1)^2 = 4$$，圆心 $$M(0,-1)$$，半径 $$2$$。直线 $$l: 3x + 4y - 1 = 0$$ 与圆 $$M$$ 相交于 $$A$$ 和 $$B$$ 两点。
圆心到直线的距离 $$d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times (-1) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{5}{5} = 1$$。
弦长 $$|AB| = 2\sqrt{2^2 - 1^2} = 2\sqrt{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 解析：
直线 $$x - y - 2 = 0$$ 到圆心 $$(0,0)$$ 的距离为 $$\frac{|0 - 0 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$$。
圆上有 $$4$$ 个点到直线的距离为 $$1$$，说明圆的半径 $$r$$ 满足 $$\sqrt{2} - 1 < r < \sqrt{2} + 1$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析：
圆 $$P$$ 的方程为 $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$，圆心 $$P(0,2)$$，半径 $$2$$。抛物线 $$S: y = \frac{x^2}{8}$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx + 2$$。与抛物线联立得 $$\frac{x^2}{8} = kx + 2$$，即 $$x^2 - 8kx - 16 = 0$$，设两根为 $$x_1$$ 和 $$x_3$$。
与圆联立得 $$x^2 + (kx)^2 = 4$$，即 $$x^2(1 + k^2) = 4$$，设两根为 $$x_2$$ 和 $$x_4$$。
由于 $$AB$$、$$BC$$、$$CD$$ 成等差数列，有 $$2|BC| = |AB| + |CD|$$。通过计算可得 $$k = \pm \sqrt{2}$$。
因此直线方程为 $$y = \sqrt{2}x + 2$$ 或 $$y = -\sqrt{2}x + 2$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
10. 解析：
方程 $$\frac{x^2}{r - 6} - \frac{y^2}{4 - r} = 1$$ 表示双曲线，则 $$(r - 6)(4 - r) > 0$$，解得 $$4 < r < 6$$。
圆心 $$(3,-5)$$ 到直线 $$4x - 3y = 2$$ 的距离为 $$\frac{|12 + 15 - 2|}{5} = 5$$。
圆上点到直线的距离为 $$1$$ 的条件为 $$|5 - r| < 1 < 5 + r$$，即 $$4 < r < 6$$。因此有 $$2$$ 个点满足条件。
答案为 $$\boxed{B}$$。