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正确率60.0%已知圆$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0$$和圆$${{C}_{2}}$$：$$4 x^{2}+4 y^{2}-1 6 x-1 6 y+3 1=0，$$则这两个圆的公切线的条数为（）
B
A.$${{1}}$$或$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
2、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%直线$${{l}}$$是圆$$C_{1} \colon\begin{array} {l} {( \boldsymbol{x}+1 )^{\omega^{2}}+y^{2}=1} \\ \end{array}$$与圆$$C_{2} \colon\begin{array} {l} {( \ x+4 )^{\mathbf{\phi}^{2}}+y^{2}=4} \\ \end{array}$$的公切线，并且$${{l}}$$分别与$${{x}}$$轴，$${{y}}$$轴两正半轴相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为（$${）}$$.
A
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} 3$$
C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
3、['两圆的公切线条数及方程的确定']正确率60.0%与圆$$x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+7=0$$和$$x^{2}+y^{2}-4 x-1 0 y+1 3=0$$都相切的直线共有（）
C
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
4、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%圆$$C_{1} \colon( x+2 )^{2}+( y-2 )^{2}=1$$与圆$$C_{2} \colon x^{2}+y^{2}-2 x+2 y+1=0$$的公切线的条数为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知两圆$$x^{2}+y^{2}+4 a x+4 a^{2}-4=0$$和$$x^{2}+y^{2}-2 b y+b^{2}-1=0$$恰有三条公切线，若$$a \in{\bf R}， ~ b \in{\bf R}$$，且$${{a}{b}{≠}{0}}$$，则$$\frac{1} {a^{2}}+\frac{1} {b^{2}}$$的最小值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
6、['圆的定义与标准方程'， '圆的一般方程'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%若圆$$C_{1} : x^{2}+y^{2}=1$$与圆$$C_{2} : x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+m=0$$恰有三条公切线，则$${{m}{=}{（}}$$）
C
A.$${{2}{1}}$$
B.$${{1}{9}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{−}{{1}{1}}}$$
7、['两点间的距离'， '两圆的公切线条数及方程的确定']正确率60.0%圆$$E_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=1$$与圆$$F \colon~ x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+4 \d=0$$的公切线的条数为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['圆的定义与标准方程'， '两点间的距离'， '两圆的公切线条数及方程的确定']正确率60.0%已知圆$$C_{1} \colon~ x^{2}+y^{2}-2 x=0$$与圆$$C_{2} \colon~ x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$$，则两圆的公切线条数为（）
D
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
9、['两圆的公切线条数及方程的确定']正确率40.0%圆$${{O}_{1}}$$：$$x^{2}+y^{2}-2 x=0$$和圆$${{O}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}-4 y=0$$的公切线条数为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
10、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%圆$${{C}_{1}}$$：$$( x+1 )^{2}+( y+1 )^{2}=4$$和圆$${{C}_{2}}$$：$$( x-2 )^{2}+( y-3 )^{2}=9$$的公切线的条数为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题目的详细解析： --- ### 1. 圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$$ 可化为标准形式： $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$$，圆心 $$(1, -2)$$，半径 $$r_1 = 3$$。 - 圆 $$C_2$$：$$4x^2 + 4y^2 - 16x - 16y + 31 = 0$$ 可化为标准形式： $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = \frac{1}{4}$$，圆心 $$(2, 2)$$，半径 $$r_2 = \frac{1}{2}$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 3 + \frac{1}{2} = 3.5$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 3 - \frac{1}{2} = 2.5$$。 - 由于 $$2.5 < \sqrt{17} < 3.5$$，两圆相交。 4. **公切线数量：** 相交的两圆有 **2 条**公切线。 **答案：**D. $$2$$
--- ### 2. 直线 $$l$$ 与 $$x$$ 轴、$$y$$ 轴围成的面积 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$(x + 1)^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$(-1, 0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$C_2$$：$$(x + 4)^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(-4, 0)$$，半径 $$r_2 = 2$$。 2. **公切线性质：** 两圆圆心在 $$x$$ 轴上，公切线为斜率为 $$k$$ 的直线，与两圆相切。 3. **切线方程：** 设公切线为 $$y = kx + b$$，利用切线距离公式： - 对 $$C_1$$：$$\frac{|k(-1) + b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$$。 - 对 $$C_2$$：$$\frac{|k(-4) + b|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$$。 解得 $$k = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。 4. **求交点：** 直线与 $$x$$ 轴交于 $$A\left(-\frac{b}{k}, 0\right)$$，与 $$y$$ 轴交于 $$B(0, b)$$。 面积为 $$\frac{1}{2} \times \left|\frac{b}{k}\right| \times |b| = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。 **答案：**D. $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$
--- ### 3. 两圆的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0$$ 可化为： $$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$$，圆心 $$(-2, 2)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$C_2$$：$$x^2 + y^2 - 4x - 10y + 13 = 0$$ 可化为： $$(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 16$$，圆心 $$(2, 5)$$，半径 $$r_2 = 4$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 1 + 4 = 5$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 4 - 1 = 3$$。 - 由于 $$d = r_1 + r_2$$，两圆外切。 4. **公切线数量：** 外切的两圆有 **3 条**公切线。 **答案：**C. $$3$$
--- ### 4. 圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$$，圆心 $$(-2, 2)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$C_2$$：$$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$$ 可化为： $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$$，圆心 $$(1, -1)$$，半径 $$r_2 = 1$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 0$$。 - 由于 $$d > r_1 + r_2$$，两圆外离。 4. **公切线数量：** 外离的两圆有 **4 条**公切线。 **答案：**D. $$4$$
--- ### 5. 两圆有三条公切线时的最小值 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$x^2 + y^2 + 4ax + 4a^2 - 4 = 0$$ 可化为： $$(x + 2a)^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(-2a, 0)$$，半径 $$r_1 = 2$$。 - 圆 $$C_2$$：$$x^2 + y^2 - 2by + b^2 - 1 = 0$$ 可化为： $$x^2 + (y - b)^2 = 1$$，圆心 $$(0, b)$$，半径 $$r_2 = 1$$。 2. **三条公切线条件：** 两圆内切，即圆心距离 $$d = r_1 - r_2 = 1$$。 $$d = \sqrt{(0 - (-2a))^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{4a^2 + b^2} = 1$$。 3. **求最小值：** 由 $$4a^2 + b^2 = 1$$，利用不等式： $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq \frac{(1 + 1)^2}{4a^2 + b^2} = \frac{4}{1} = 4$$。 当 $$4a^2 = b^2$$ 时取等，即 $$a = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$$，$$b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$。 **答案：**C. $$\frac{4}{9}$$
--- ### 6. 两圆有三条公切线时的 $$m$$ 值 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$x^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$(0, 0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$C_2$$：$$x^2 + y^2 - 6x - 8y + m = 0$$ 可化为： $$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 - m$$，圆心 $$(3, 4)$$，半径 $$r_2 = \sqrt{25 - m}$$。 2. **三条公切线条件：** 两圆内切，即圆心距离 $$d = r_1 + r_2$$ 或 $$d = |r_1 - r_2|$$。 计算 $$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = 5$$。 - 若 $$d = r_1 + r_2$$，则 $$5 = 1 + \sqrt{25 - m}$$，解得 $$m = 9$$。 - 若 $$d = |r_1 - r_2|$$，则 $$5 = |1 - \sqrt{25 - m}|$$，无解。 **答案：**C. $$9$$
--- ### 7. 圆 $$E$$ 和 $$F$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$E$$：$$x^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$(0, 0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$F$$：$$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$$ 可化为： $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$$，圆心 $$(2, 2)$$，半径 $$r_2 = 2$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 1$$。 - 由于 $$1 < 2\sqrt{2} < 3$$，两圆相交。 4. **公切线数量：** 相交的两圆有 **2 条**公切线。 **答案：**B. $$2$$
--- ### 8. 圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$x^2 + y^2 - 2x = 0$$ 可化为： $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$(1, 0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$C_2$$：$$x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0$$ 可化为： $$x^2 + (y - 2)^2 = 1$$，圆心 $$(0, 2)$$，半径 $$r_2 = 1$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{5}$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 0$$。 - 由于 $$d > r_1 + r_2$$，两圆外离。 4. **公切线数量：** 外离的两圆有 **4 条**公切线。 **答案：**D. $$4$$
--- ### 9. 圆 $$O_1$$ 和 $$O_2$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$O_1$$：$$x^2 + y^2 - 2x = 0$$ 可化为： $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$(1, 0)$$，半径 $$r_1 = 1$$。 - 圆 $$O_2$$：$$x^2 + y^2 - 4y = 0$$ 可化为： $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$，圆心 $$(0, 2)$$，半径 $$r_2 = 2$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{5}$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 1$$。 - 由于 $$1 < \sqrt{5} < 3$$，两圆相交。 4. **公切线数量：** 相交的两圆有 **2 条**公切线。 **答案：**B. $$2$$
--- ### 10. 圆 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的公切线数量 **解析：** 1. **标准化圆方程：** - 圆 $$C_1$$：$$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$$，圆心 $$(-1, -1)$$，半径 $$r_1 = 2$$。 - 圆 $$C_2$$：$$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$$，圆心 $$(2, 3)$$，半径 $$r_2 = 3$$。 2. **计算圆心距离：** $$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$。 3. **判断位置关系：** - 半径和 $$r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$$。 - 半径差 $$|r_1 - r_2| = 1$$。 - 由于 $$d = r_1 + r_2$$，两圆外切。 4. **公切线数量：** 外切的两圆有 **3 条**公切线。 **答案：**C. $$3$$
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