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正确率40.0%已知圆$${{C}}$$的方程为$$\left( x-1 \right)^{2}+\left( y-1 \right)^{2}=2$$，点$${{P}}$$在直线$$y=x+3$$上，线段$${{A}{B}}$$为圆$${{C}}$$的直径，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的最小值为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{5} {2}$$
C.$${{3}}$$
D.$$\frac{7} {2}$$
2、['圆的定义与标准方程'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '数量积的运算律'， '向量垂直']正确率40.0%已知向量$$\overrightarrow{\alpha}， ~ \overrightarrow{\beta}， ~ \overrightarrow{\gamma}$$满足$$| \overrightarrow{\alpha} |=1， \; \; \overrightarrow{\alpha} \; \bot\; \; ( \; \overrightarrow{\alpha}-2 \overrightarrow{\beta} ) \; \;， \; \; ( \; \overrightarrow{\alpha}-\overrightarrow{\gamma} ) \; \; \bot\; \; ( \; \overrightarrow{\beta}-\overrightarrow{\gamma} )$$，若$$| \overrightarrow{\beta} |=\frac{\sqrt{1 7}} {2}， \; | \overrightarrow{\gamma} |$$的最大值和最小值分别为$${{m}{，}{n}}$$，则$${{m}{+}{n}}$$等于（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
3、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']正确率60.0%直线$$y=x-3$$被圆$$x^{2}+y^{2}-4 x=0$$所截得弦长为（）
A
A.$${\sqrt {{1}{4}}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{1}{4}}$$
4、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知点$${{P}}$$在圆$$x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+7=0$$上，点$${{Q}}$$在直线上$${{y}{=}{k}{x}}$$上，若$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{2}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$，则$${{k}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{0}}$$
D.$${{2}}$$
5、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%若直线$$2 x-y+a=0$$与圆$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$没有公共点，则实数$${{a}}$$的取值范围为$${{(}{)}}$$
D
A.$$(-\infty，-2-2 \sqrt{2} ) \cup( 2 \sqrt{2}-2，+\infty)$$
B.$$(-\infty，-2-2 \sqrt{5} ) \cup( 2 \sqrt{5}-2，+\infty)$$
C.$$(-\infty，-2-\sqrt{2} ) \cup( \sqrt{2}-2，+\infty)$$
D.$$(-\infty，-2-\sqrt{5} ) \cup( \sqrt{5}-2，+\infty)$$
6、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']正确率60.0%$${{A}}$$为圆$$O_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=1$$上的点，$${{B}}$$为直线$$l \colon~ x+y-2=0$$上的点，则线段$${{A}{B}}$$长度的最小值为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\sqrt{2}-1$$
D.$${{1}}$$
7、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']正确率60.0%圆$$x^{2}+y^{2}-2 x-2 y=0$$上的点到直线$$x+y+2=0$$的距离最大为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$
8、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线和圆相切']正确率60.0%由直线$$y=x+1$$上的一点向圆$$( x-3 )^{2}+y^{2}=1$$引切线，则切线长的最小值为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {7}}$$
D.$${{3}}$$
9、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%若直线$$y=x+m$$与曲线$${{x}{=}{\sqrt {{1}{−}{{y}^{2}}}}}$$只有$${{—}}$$个公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{m}{=}{±}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{m}{⩾}{\sqrt {2}}}$$或$${{m}{⩽}{−}{\sqrt {2}}}$$
C.$$- \sqrt2 < m < \sqrt2$$
D.$$- 1 < m \leqslant1$$或$${{m}{=}{−}{\sqrt {2}}}$$
10、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率40.0%若曲线$${{y}{=}{\sqrt {{4}{x}{−}{{x}^{2}}}}}$$与直线$$y=\frac{3} {4} x+b$$有公共点，则$${{b}}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-4， 1 ]$$
B.$$[-4， 0 ]$$
C.$$[-3， 1 ]$$
D.$$[-3， \frac{1} {2} ]$$
1. 首先确定圆 $$C$$ 的圆心为 $$(1,1)$$，半径 $$r = \sqrt{2}$$。设点 $$P$$ 在直线 $$y = x + 3$$ 上，记为 $$P(t, t + 3)$$。由于 $$AB$$ 为直径，$$A$$ 和 $$B$$ 关于圆心对称，设 $$A = (1 + a, 1 + b)$$，则 $$B = (1 - a, 1 - b)$$。向量 $$\overrightarrow{PA} = (1 + a - t, 1 + b - t - 3)$$，$$\overrightarrow{PB} = (1 - a - t, 1 - b - t - 3)$$，点积为： $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (1 - t)^2 - a^2 + ( -2 - t)^2 - b^2$$ 由于 $$A$$ 在圆上，$$a^2 + b^2 = 2$$，代入得： $$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (1 - t)^2 + (-2 - t)^2 - 2 = 2t^2 + 2t + 5$$ 求最小值，二次函数最小值为 $$\frac{4 \times 2 \times 5 - 4}{4 \times 2} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$$。答案为 B。
2. 由 $$\overrightarrow{\alpha} \perp (\overrightarrow{\alpha} - 2\overrightarrow{\beta})$$ 得 $$\overrightarrow{\alpha} \cdot (\overrightarrow{\alpha} - 2\overrightarrow{\beta}) = 0$$，即 $$1 - 2\overrightarrow{\alpha} \cdot \overrightarrow{\beta} = 0$$，所以 $$\overrightarrow{\alpha} \cdot \overrightarrow{\beta} = \frac{1}{2}$$。设 $$\overrightarrow{\alpha} = (1, 0)$$，则 $$\overrightarrow{\beta} = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{17 - 1}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 2\right)$$。由 $$(\overrightarrow{\alpha} - \overrightarrow{\gamma}) \perp (\overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\gamma})$$ 得： $$(\overrightarrow{\alpha} - \overrightarrow{\gamma}) \cdot (\overrightarrow{\beta} - \overrightarrow{\gamma}) = 0$$ 展开后得到 $$\overrightarrow{\gamma} \cdot \overrightarrow{\gamma} - \overrightarrow{\gamma} \cdot (\overrightarrow{\alpha} + \overrightarrow{\beta}) + \overrightarrow{\alpha} \cdot \overrightarrow{\beta} = 0$$，即： $$|\overrightarrow{\gamma}|^2 - \overrightarrow{\gamma} \cdot \left(\frac{3}{2}, 2\right) + \frac{1}{2} = 0$$ 这是一个圆的方程，其几何意义是 $$\overrightarrow{\gamma}$$ 的终点在以 $$\left(\frac{3}{4}, 1\right)$$ 为圆心、半径为 $$\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$$ 的圆上。因此 $$|\overrightarrow{\gamma}|$$ 的最大值为 $$\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 1} + \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{17}}{4}$$，最小值为 $$\frac{5}{4} - \frac{\sqrt{17}}{4}$$。但题目中 $$|\overrightarrow{\beta}| = \frac{\sqrt{17}}{2}$$，重新计算发现 $$m + n = 2$$。答案为 B。
3. 圆方程为 $$x^2 + y^2 - 4x = 0$$，即 $$(x - 2)^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(2, 0)$$，半径 $$r = 2$$。直线 $$y = x - 3$$ 的标准形式为 $$x - y - 3 = 0$$，圆心到直线距离为： $$d = \frac{|2 - 0 - 3|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 弦长为 $$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{1}{2}} = \sqrt{14}$$。答案为 A。
4. 圆方程为 $$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 1$$，圆心 $$(2, 2)$$，半径 $$r = 1$$。点 $$Q$$ 在直线 $$y = kx$$ 上，最小距离为圆心到直线的距离减去半径： $$\frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} - 1 = 2\sqrt{2} - 1$$ 解得 $$\frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2\sqrt{2}$$，平方后得 $$4(k - 1)^2 = 8(k^2 + 1)$$，化简为 $$k^2 + 2k + 1 = 0$$，即 $$k = -1$$。答案为 B。
5. 直线 $$2x - y + a = 0$$ 与圆 $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$ 无交点，即圆心 $$(1, 0)$$ 到直线距离大于半径： $$\frac{|2 \times 1 - 0 + a|}{\sqrt{4 + 1}} > 1 \Rightarrow |2 + a| > \sqrt{5}$$ 解得 $$a < -2 - \sqrt{5}$$ 或 $$a > \sqrt{5} - 2$$。答案为 B。
6. 圆心 $$(0, 0)$$ 到直线 $$x + y - 2 = 0$$ 的距离为： $$d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$$ 圆半径为 $$1$$，所以最小距离为 $$d - r = \sqrt{2} - 1$$。答案为 C。
7. 圆方程为 $$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$$，圆心 $$(1, 1)$$，半径 $$r = \sqrt{2}$$。直线 $$x + y + 2 = 0$$ 到圆心距离为： $$d = \frac{|1 + 1 + 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$ 圆上点到直线的最大距离为 $$d + r = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$。答案为 C。
8. 切线长公式为 $$\sqrt{d^2 - r^2}$$，其中 $$d$$ 为点到圆心距离，$$r$$ 为半径。圆心 $$(3, 0)$$，半径 $$1$$。点 $$P$$ 在直线 $$y = x + 1$$ 上，设为 $$(t, t + 1)$$，距离为： $$d = \sqrt{(t - 3)^2 + (t + 1)^2} = \sqrt{2t^2 - 4t + 10}$$ 切线长为 $$\sqrt{2t^2 - 4t + 10 - 1} = \sqrt{2t^2 - 4t + 9}$$，最小值为 $$\sqrt{7}$$（当 $$t = 1$$ 时）。答案为 C。
9. 曲线 $$x = \sqrt{1 - y^2}$$ 表示右半圆 $$x^2 + y^2 = 1$$（$$x \geq 0$$）。直线 $$y = x + m$$ 与半圆只有一个交点时，可能相切或通过端点 $$(0, 1)$$ 或 $$(0, -1)$$。相切时距离为 $$1$$： $$\frac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1 + 1}} = 1 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}$$ 通过端点时 $$m = 1$$ 或 $$m = -1$$。但 $$m = -1$$ 时直线与半圆有两个交点，$$m = 1$$ 时只有一个。综上，$$m \in (-1, 1]$$ 或 $$m = -\sqrt{2}$$。答案为 D。
10. 曲线 $$y = \sqrt{4x - x^2}$$ 表示上半圆 $$(x - 2)^2 + y^2 = 4$$（$$y \geq 0$$）。直线 $$y = \frac{3}{4}x + b$$ 与半圆有交点时，需满足联立方程有解且 $$y \geq 0$$。联立得： $$(x - 2)^2 + \left(\frac{3}{4}x + b\right)^2 = 4$$ 展开后为二次方程，判别式非负且 $$y \geq 0$$。解得 $$b \in [-4, 0]$$。答案为 B。