直线与圆的位置关系及其判定-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点课后基础自测题解析-海南省等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

1、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%已知圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$与圆$${{(}{x}{−}{a}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{9}}$$外切，则直线$${{a}{x}{−}{2}{y}{+}{3}{=}{0}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$的位置关系是$${{(}{)}}$$

A.相切

B.相离

C.相交

D.相交或相离

2、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%已知圆$${{C}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$，$${{M}}$$、$${{N}}$$是直线$${{l}}$$：$${{y}{=}{x}{+}{4}}$$上的两点，若对线段$${{M}{N}}$$上任意一点$${{P}}$$，圆$${{C}}$$上均存在两点$${{A}}$$、$${{B}}$$，使得$$\operatorname{c o s} \angle A P B={\frac{1} {2}}$$，则线段$${{M}{N}}$$长度的最大值为（）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}{\sqrt {3}}}$$

3、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%若圆$${（{x}{−}{3}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{5}{）^{2}}{=}{{r}^{2}}{（}{>}{0}{）}}$$有且只有四个点到直线$${{5}{x}{+}{{1}{2}}{y}{=}{{1}{0}}}$$的距离等于$${{1}}$$，则半径$${{r}}$$的取值范围是（）

A.$${（{4}{，}{6}{）}}$$

B.$${（{6}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${（{0}{，}{4}{）}}$$

D.$${{[}{4}{，}{6}{]}}$$

4、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']

正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{（}{y}{−}{3}{）^{2}}{=}{2}}$$，点$${{A}}$$是$${{x}}$$轴上的一个动点，$${{A}{P}{，}{A}{Q}}$$分别切圆$${{C}}$$于$${{P}{，}{Q}}$$两点，则线段$${{P}{Q}}$$的取值范围是（）

A.$$[ \frac{\sqrt{1 4}} {3}， ~ \sqrt{2} )$$

B.$$[ \frac{2 \sqrt{1 4}} {3}， ~ 2 \sqrt{2} )$$

C.$$[ \frac{\sqrt{1 4}} {3}， ~ \sqrt{2} ]$$

D.$$[ \frac{2 \sqrt{1 4}} {3}， ~ 2 \sqrt{2} ]$$

5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '基本不等式的实际应用']

正确率40.0%若直线$${{a}{x}{−}{2}{b}{y}{−}{2}{a}{b}{=}{0}{（}{a}{>}{0}{，}{b}{>}{0}{）}}$$平分圆$${（{x}{−}{2}{）^{2}}{+}{（}{y}{+}{1}{）^{2}}{=}{2}}$$的周长，则$${{a}{+}{2}{b}}$$的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{5}}$$

7、['直线与圆的方程的应用'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%已知直线$${{l}{:}{3}{x}{+}{4}{y}{−}{{1}{2}}{=}{0}{，}}$$若圆上恰好存在两个点$${{P}{，}{Q}{，}}$$它们到直线$${{l}}$$的距离为$${{1}{，}}$$则称该圆为“完美型”圆.则下列圆中是“完美型”圆的是（）

A.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$

B.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$

C.$${{(}{x}{−}{4}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{1}}$$

D.$${{(}{x}{−}{4}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$

8、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线的倾斜角']

正确率80.0%过点$${{(}{\sqrt {3}}{，}{1}{)}}$$的直线$${{l}}$$平分了圆：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{y}{=}{0}}$$的周长，则直线$${{l}}$$的倾斜角为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}{0}{°}}$$

B.$${{6}{0}{°}}$$

C.$${{1}{2}{0}{°}}$$

D.$${{1}{5}{0}{°}}$$

9、['直线与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']

正确率80.0%已知圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{x}{=}{0}}$$，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

10、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']

正确率80.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{1}}$$，过$${{x}}$$轴上的一个动点$${{P}}$$引圆$${{C}}$$的两条切线$${{P}{A}}$$，$${{P}{B}}$$，切点分别为$${{A}}$$，$${{B}}$$，则线段$${{A}{B}}$$长度的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{)}}$$

B.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{2}{)}}$$

C.$${{(}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$

D.$${{[}{\sqrt {3}}{，}{2}{]}}$$

1. 解析：

首先，圆$$x^2 + y^2 = 4$$的圆心为$$(0,0)$$，半径$$r_1 = 2$$。圆$$(x-a)^2 + (y-3)^2 = 9$$的圆心为$$(a,3)$$，半径$$r_2 = 3$$。两圆外切的条件是圆心距离等于半径之和，即$$\sqrt{a^2 + 3^2} = 2 + 3$$，解得$$a = \pm4$$。

直线方程为$$4x - 2y + 3 = 0$$或$$-4x - 2y + 3 = 0$$。计算圆心$$(0,0)$$到直线的距离$$d = \frac{|3|}{\sqrt{4^2 + (-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}$$。由于圆的半径$$r_1 = 2$$，比较$$d$$与$$r_1$$：$$\frac{3}{2\sqrt{5}} \approx 0.67 < 2$$，所以直线与圆相交。答案为$$C$$。

2. 解析：

圆$$C$$的半径为2，$$P$$在直线$$y = x + 4$$上。要使对任意$$P$$，存在$$A,B$$使得$$\cos \angle APB = \frac{1}{2}$$，即$$\angle APB = 60^\circ$$。这意味着$$P$$必须在圆$$C$$的某范围内，使得从$$P$$引出的两条切线夹角至少为$$120^\circ$$。计算得$$P$$到圆心$$(0,0)$$的距离$$d$$满足$$d \leq 4$$。线段$$MN$$在直线$$y = x + 4$$上，最大长度为$$4\sqrt{2}$$。答案为$$C$$。

3. 解析：

圆心$$(3,5)$$到直线$$5x + 12y = 10$$的距离$$d = \frac{|5 \times 3 + 12 \times 5 - 10|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{65}{13} = 5$$。要使圆有四个点到直线的距离为1，需满足$$d + 1 < r$$且$$r - d < 1$$，即$$5 + 1 < r$$且$$r - 5 < 1$$，解得$$6 < r < 6$$不成立，实际上应为$$r > d + 1 = 6$$。答案为$$B$$。

4. 解析：

圆$$C$$的圆心$$(0,3)$$，半径$$r = \sqrt{2}$$。设$$A(a,0)$$，则$$AP$$为切线，$$CP = \sqrt{2}$$，$$CA = \sqrt{a^2 + 9}$$。由切线性质，$$AP = \sqrt{CA^2 - CP^2} = \sqrt{a^2 + 7}$$。$$PQ$$为两切点的弦，其长度$$PQ = 2 \sqrt{2 - \frac{2}{a^2 + 9}}$$。当$$a = 0$$时，$$PQ$$最小为$$\frac{2\sqrt{14}}{3}$$；当$$a \to \infty$$时，$$PQ \to 2\sqrt{2}$$。答案为$$B$$。

5. 解析：

直线$$ax - 2by - 2ab = 0$$过圆心$$(2,-1)$$，代入得$$2a + 2b - 2ab = 0$$，即$$a + b = ab$$。整理得$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$$。利用不等式，$$a + 2b = (a + 2b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 3 + 2\sqrt{2}$$。答案为$$B$$。

7. 解析：

“完美型”圆要求圆上恰好两点到直线$$3x + 4y - 12 = 0$$的距离为1。计算圆心到直线的距离$$d$$，需满足$$|d - r| < 1 < d + r$$。对于选项$$D$$，圆心$$(4,4)$$，$$d = \frac{|12 + 16 - 12|}{5} = \frac{16}{5} = 3.2$$，半径$$r = 4$$，满足$$3.2 - 4 < 1 < 3.2 + 4$$。答案为$$D$$。

8. 解析：

圆$$x^2 + y^2 - 4y = 0$$的圆心为$$(0,2)$$。直线$$l$$过$$(\sqrt{3},1)$$和圆心$$(0,2)$$，斜率为$$\frac{1 - 2}{\sqrt{3} - 0} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$，倾斜角为$$150^\circ$$。答案为$$D$$。

9. 解析：

圆$$x^2 + y^2 - 6x = 0$$的圆心为$$(3,0)$$，半径$$r = 3$$。点$$(1,2)$$到圆心的距离$$d = \sqrt{(1-3)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$。最短弦长为$$2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{9 - 8} = 2$$。答案为$$B$$。

10. 解析：

圆$$C$$的圆心$$(1,2)$$，半径$$r = 1$$。设$$P(p,0)$$，切线$$PA$$满足$$PA = \sqrt{(p-1)^2 + 4 - 1} = \sqrt{p^2 - 2p + 4}$$。弦$$AB$$的长度为$$2\sqrt{1 - \frac{1}{(p-1)^2 + 4}}$$。当$$p \to \pm \infty$$时，$$AB \to 2$$；当$$p = 1$$时，$$AB = \sqrt{3}$$。答案为$$D$$。

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