圆上的点到直线的最大（小）距离-直线与圆、圆与圆的位置关系知识点月考进阶选择题自测题解析-浙江省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$在圆$${{C}{:}{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{1}{{)}^{2}}{=}{1}}$$上，直线$${{l}{:}{3}{x}{+}{4}{y}{=}{{1}{2}}}$$与$${{x}{，}{y}}$$轴的交点分别为$${{M}{，}{N}{，}}$$则$${{△}{P}{M}{N}}$$的面积的最大值是（）

A.$$\frac{1 5} {2}$$

B.$${{8}}$$

C.$$\frac{1 7} {2}$$

D.$${{9}}$$

2、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线和圆相切']

正确率40.0%已知点$${{P}{（}{x}{，}{y}{）}}$$是直线$${{2}{x}{−}{y}{+}{4}{=}{0}}$$上一动点，直线$${{P}{A}{，}{P}{B}}$$是圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{y}{=}{0}}$$的两条切线，$${{A}{，}{B}}$$为切点，$${{C}}$$为圆心，则四边形$${{P}{A}{C}{B}}$$面积的最小值是（）

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {5}}$$

C.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

D.$${{4}}$$

3、['圆上的点到直线的最大（小）距离']

正确率60.0%已知$${{P}{，}{Q}}$$分别为直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{+}{7}{=}{0}}$$和曲线$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{=}{0}}$$上的动点，则$${{|}{{P}{Q}}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\frac{2} {5}$$

4、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']

正确率60.0%已知直线$${{l}{:}{2}{x}{+}{y}{−}{8}{=}{0}}$$上的两点$${{A}{，}{B}}$$，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{4}{，}}$$点$${{P}}$$为圆$${{D}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{x}{−}{3}{=}{0}}$$上任一点，则$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积的最大值为（）

A.$${{5}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {5}}{+}{3}}$$

C.$${{4}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$

D.$${{4}{\sqrt {5}}{+}{4}}$$

5、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%点$${{A}{，}{B}}$$分别为圆$${{M}{：}{{x}^{2}}{+}{（}{y}{−}{3}{）^{2}}{=}{1}}$$与圆$${{N}{：}{（}{x}{−}{3}{）^{2}}{+}{（}{y}{−}{8}{）^{2}}{=}{4}}$$上的动点，点$${{C}}$$在直线$${{x}{+}{y}{=}{0}}$$上运动，则$${{|}{A}{C}{|}{+}{|}{B}{C}{|}}$$的最小值为（）

A.$${{7}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

6、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离']

正确率60.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{2}{y}{=}{0}}$$上的点到直线$${{x}{+}{y}{+}{2}{=}{0}}$$的距离最大为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{2}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

7、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%若直线$${{y}{=}{x}{+}{m}}$$与曲线$${{x}{=}{\sqrt {{1}{−}{{y}^{2}}}}}$$只有$${{—}}$$个公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）

A.$${{m}{=}{±}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{m}{⩾}{\sqrt {2}}}$$或$${{m}{⩽}{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}{<}{m}{<}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{−}{1}{<}{m}{⩽}{1}}$$或$${{m}{=}{−}{\sqrt {2}}}$$

8、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']

正确率40.0%已知直线$${{4}{x}{+}{3}{y}{+}{1}{=}{0}}$$被圆$${{C}{:}{{(}{x}{+}{3}{)}^{2}}{+}{{(}{y}{−}{m}{)}^{2}}{=}{{1}{3}}{{(}{m}{<}{3}{)}}}$$所截得的弦长为$${{4}{\sqrt {3}}}$$，且$${{P}}$$为圆$${{C}}$$上任意一点，点$${{A}}$$为定点$${{(}{2}{，}{0}{)}}$$，则$${{|}{P}{A}{|}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {{2}{9}}{−}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

B.$${{5}{+}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {7}}{+}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

D.$${\sqrt {{2}{9}}{+}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

9、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的方程的应用']

正确率60.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{x}{−}{2}{y}{−}{2}{=}{0}}$$上到直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{+}{c}{=}{0}}$$距离为$${{1}}$$的点恰有一个，则$${{c}{=}}$$（）

A.$${{3}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{3}}$$或$${{−}{{1}{7}}}$$

D.$${{−}{{2}{2}}}$$或$${{8}}$$

10、['点到直线的距离'， '圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%点$${{M}}$$在圆$${{(}{x}{−}{5}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{9}}$$上，则$${{M}}$$点到直线$${{3}{x}{+}{4}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的最短距离为$${{(}{)}}$$

$D$

A.$${{9}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{2}}$$

1. 解析：

首先确定圆$$C$$的圆心为$$(2, -1)$$，半径$$r=1$$。直线$$l$$与坐标轴的交点为$$M(4, 0)$$和$$N(0, 3)$$。计算$$M$$和$$N$$的距离$$|MN|=5$$。要使三角形$$PMN$$的面积最大，需要使点$$P$$到直线$$MN$$的距离最大。圆心到直线$$MN$$的距离为$$d=\frac{|3 \times 2 + 4 \times (-1) - 12|}{5}=2$$，因此最大距离为$$d + r = 3$$。面积为$$\frac{1}{2} \times 5 \times 3 = \frac{15}{2}$$，答案为A。

2. 解析：

圆$$C$$的圆心为$$(0, -1)$$，半径$$r=1$$。四边形$$PACB$$的面积为$$2 \times \frac{1}{2} \times PA \times r = PA$$。要使面积最小，需使$$PA$$最小。$$PA = \sqrt{PC^2 - r^2}$$，其中$$PC$$为点$$P$$到圆心的距离。点$$P$$在直线$$2x - y + 4 = 0$$上，圆心到直线的距离为$$d=\frac{|0 + 1 + 4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$，因此$$PA_{\text{min}} = \sqrt{5 - 1} = 2$$，答案为A。

3. 解析：

曲线$$x^2 + y^2 - 2x = 0$$表示圆心为$$(1, 0)$$，半径$$r=1$$的圆。直线$$3x + 4y + 7 = 0$$到圆心的距离为$$d=\frac{|3 \times 1 + 4 \times 0 + 7|}{5}=2$$。因此$$|PQ|_{\text{min}} = d - r = 1$$，答案为C。

4. 解析：

圆$$D$$的圆心为$$(-1, 0)$$，半径$$r=2$$。直线$$l$$的固定两点$$A$$和$$B$$距离为4，因此三角形的高为点$$P$$到直线$$l$$的距离。圆心到直线的距离为$$d=\frac{|2 \times (-1) + 0 - 8|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$，最大距离为$$d + r = 2\sqrt{5} + 2$$。面积为$$\frac{1}{2} \times 4 \times (2\sqrt{5} + 2) = 4\sqrt{5} + 4$$，答案为D。

5. 解析：

圆$$M$$的圆心为$$(0, 3)$$，半径$$r_1=1$$；圆$$N$$的圆心为$$(3, 8)$$，半径$$r_2=2$$。点$$C$$在直线$$x + y = 0$$上。反射圆$$M$$关于直线$$x + y = 0$$得到圆$$M'$$的圆心为$$(-3, 0)$$。$$|AC| + |BC|$$的最小值为$$|M'N| - r_1 - r_2 = \sqrt{(3 + 3)^2 + (8 - 0)^2} - 1 - 2 = 10 - 3 = 7$$，答案为A。

6. 解析：

圆的方程为$$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$$，圆心$$(1, 1)$$，半径$$r=\sqrt{2}$$。圆心到直线$$x + y + 2 = 0$$的距离为$$d=\frac{|1 + 1 + 2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$。最大距离为$$d + r = 3\sqrt{2}$$，答案为C。

7. 解析：

曲线$$x=\sqrt{1 - y^2}$$表示右半圆$$x^2 + y^2 = 1$$（$$x \geq 0$$）。直线$$y = x + m$$与半圆相切时$$m = -\sqrt{2}$$；当直线在$$y$$轴截距$$m \in (-1, 1]$$时有一个交点。因此$$m \in (-1, 1]$$或$$m = -\sqrt{2}$$，答案为D。

8. 解析：

圆$$C$$的圆心为$$(-3, m)$$，半径$$r=\sqrt{13}$$。弦长为$$4\sqrt{3}$$，则弦心距为$$\sqrt{13 - 12}=1$$。圆心到直线$$4x + 3y + 1 = 0$$的距离为$$1$$，解得$$m=0$$。点$$A(2, 0)$$到圆心的距离为$$5$$，因此$$|PA|_{\text{max}} = 5 + \sqrt{13}$$，答案为B。

9. 解析：

圆的方程为$$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$$，圆心$$(1,1)$$，半径$$r=2$$。圆心到直线$$3x + 4y + c = 0$$的距离为$$d=\frac{|7 + c|}{5}$$。当$$d = r \pm 1$$时，恰有一个点满足条件，即$$\frac{|7 + c|}{5} = 1$$或$$3$$，解得$$c = -2$$或$$-22$$（舍去$$d=3$$时无解），或$$c=8$$或$$-22$$。选项中符合的是$$8$$或$$-22$$，答案为D。

10. 解析：

圆心$$(5,3)$$到直线$$3x + 4y - 2 = 0$$的距离为$$d=\frac{|15 + 12 - 2|}{5}=5$$，半径$$r=3$$。因此最短距离为$$d - r = 2$$，答案为D。

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