正确率40.0%$${①{“}}$$两条直线没有公共点,是两条直线异面$${{”}}$$的必要不充分条件;
$${②}$$若过点$${{P}{(}{2}{,}{1}{)}}$$作圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{a}{x}{+}{2}{a}{y}{+}{2}{a}{+}{1}{=}{0}}$$的切线有两条,则$${{a}{∈}{(}{−}{3}{,}{+}{∞}{)}}$$;
$${③}$$若$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}, \, \, \, x \in(-\frac{\pi} {2}, \, \, 0 ),$$则$$\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x=-\frac{7} {5} ;$$
$${④}$$若函数$$f ( x )=-\frac{1} {3} x^{3}+\frac{1} {2} x^{2}+2 a x$$在$$( \frac{2} {3}, ~+\infty)$$上存在单调递增区间,则$$a \in[-\frac{1} {9}, ~ ~+\infty)$$;
以上结论正确的个数为()
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
3、['直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{x}{+}{2}{y}{=}{0}}$$上的点到直线$${{x}{−}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的距离的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{5 \sqrt{2}} {2}$$
4、['直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{{3}{0}}}$$,直线$${{l}}$$:$${{(}{2}{m}{+}{1}{)}{x}{+}{(}{m}{+}{1}{)}{y}{−}{7}{m}{−}{4}{=}{0}}$$,则直线$${{l}}$$被圆$${{C}}$$截得的弦长的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
5、['圆上的点到直线的最大(小)距离', '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{=}{0}}$$与曲线$${{y}{=}{|}{x}{|}{−}{1}}$$的公共点个数为()
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{0}}$$
6、['点到直线的距离', '圆上的点到直线的最大(小)距离', '直线与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%已知圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$,直线$${{l}{:}{y}{=}{x}}$$,则圆$${{C}}$$上任取一点$${{A}}$$到直线$${{l}}$$的距离大于$${{2}}$$的概率是()
B
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
7、['直线与圆的方程的应用', '直线与圆的位置关系及其判定', '根据函数零点个数求参数范围', '函数零点的概念']正确率40.0%若方程$${{x}{+}{m}{=}{\sqrt {{4}{−}{{x}^{2}}}}}$$有且只有一个实数解,则实数$${{m}}$$的取值范围为()
C
A.$${{−}{2}{⩽}{m}{<}{2}}$$
B.$${{2}{⩽}{m}{<}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{−}{2}{⩽}{m}{<}{2}}$$或$${{m}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{−}{2}{\sqrt {2}}{⩽}{m}{⩽}{2}{\sqrt {2}}}$$
8、['直线与圆的位置关系及其判定', '直线与圆相交']正确率80.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$相交于$${{P}}$$、$${{Q}}$$两点,且$${{∠}{P}{O}{Q}{=}{{9}{0}}{°}{(}}$$其中$${{O}}$$为原点$${{)}}$$,则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$或$${\sqrt {2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$
9、['直线与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%已知直线$${{l}}$$:$${{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$与圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{3}}$$交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点,点$${{M}{(}{−}{1}{,}{3}{)}}$$,若圆$${{N}}$$过$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{M}}$$三点,则圆$${{N}}$$的标准方程为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{1}}$$
B.$${{(}{x}{+}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$
C.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{1}}$$
D.$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{1}}$$
10、['直线与圆的位置关系及其判定', '直线和圆相切']正确率80.0%已知$${{O}}$$为坐标原点,点$${{P}}$$在单位圆上,过点$${{P}}$$作圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{4}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{4}}$$的切线,切点为$${{Q}}$$,则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
以下是各题目的详细解析:
②:点$$P(2,1)$$在圆外,代入圆的方程得$$4+1-2a+2a+2a+1>0$$,化简得$$2a+6>0$$,即$$a>-3$$。
③:设$$s=\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$$,平方得$$1+2\sin x \cos x = \frac{1}{25}$$,故$$\sin x \cos x = -\frac{12}{25}$$。$$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x \cos x = \frac{49}{25}$$,因$$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$,$$\sin x - \cos x < 0$$,结果为$$-\frac{7}{5}$$。
④:$$f'(x)=-x^2+x+2a$$,在$$(\frac{2}{3}, +\infty)$$上存在单调递增区间,需$$f'(x)>0$$在某点成立。$$f'(\frac{2}{3})=-\frac{4}{9}+\frac{2}{3}+2a>0$$,解得$$a>-\frac{1}{9}$$。
综上,4个结论均正确,选$$D$$。