格物学 第二章 直线和圆的方程2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆的位置关系及其判定-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点专题基础单选题自测题解析-西藏自治区等高一数学选择必修,平均正确率60.0%

2025-05-23
直线与圆的位置关系及其判定-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点专题基础单选题自测题解析-西藏自治区等高一数学选择必修,平均正确率60.0%
1、['充分、必要条件的判定', '利用导数讨论函数单调性', '直线与圆的位置关系及其判定', '同角三角函数的平方关系']

正确率40.0%$${①{“}}$$两条直线没有公共点,是两条直线异面$${{”}}$$的必要不充分条件;
$${②}$$若过点$${{P}{(}{2}{,}{1}{)}}$$作圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{a}{x}{+}{2}{a}{y}{+}{2}{a}{+}{1}{=}{0}}$$的切线有两条,则$${{a}{∈}{(}{−}{3}{,}{+}{∞}{)}}$$;
$${③}$$若$$\operatorname{s i n} x+\operatorname{c o s} x=\frac{1} {5}, \, \, \, x \in(-\frac{\pi} {2}, \, \, 0 ),$$则$$\operatorname{s i n} x-\operatorname{c o s} x=-\frac{7} {5} ;$$
$${④}$$若函数$$f ( x )=-\frac{1} {3} x^{3}+\frac{1} {2} x^{2}+2 a x$$在$$( \frac{2} {3}, ~+\infty)$$上存在单调递增区间,则$$a \in[-\frac{1} {9}, ~ ~+\infty)$$;
以上结论正确的个数为(

C

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{2}{x}{+}{2}{y}{=}{0}}$$上的点到直线$${{x}{−}{y}{−}{2}{=}{0}}$$的距离的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{5 \sqrt{2}} {2}$$

4、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%已知圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{{3}{0}}}$$,直线$${{l}}$$:$${{(}{2}{m}{+}{1}{)}{x}{+}{(}{m}{+}{1}{)}{y}{−}{7}{m}{−}{4}{=}{0}}$$,则直线$${{l}}$$被圆$${{C}}$$截得的弦长的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

5、['圆上的点到直线的最大(小)距离', '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{=}{0}}$$与曲线$${{y}{=}{|}{x}{|}{−}{1}}$$的公共点个数为(

D

A.$${{4}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}}$$

6、['点到直线的距离', '圆上的点到直线的最大(小)距离', '直线与圆的位置关系及其判定']

正确率60.0%已知圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{1}{6}}}$$,直线$${{l}{:}{y}{=}{x}}$$,则圆$${{C}}$$上任取一点$${{A}}$$到直线$${{l}}$$的距离大于$${{2}}$$的概率是(

B

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

7、['直线与圆的方程的应用', '直线与圆的位置关系及其判定', '根据函数零点个数求参数范围', '函数零点的概念']

正确率40.0%若方程$${{x}{+}{m}{=}{\sqrt {{4}{−}{{x}^{2}}}}}$$有且只有一个实数解,则实数$${{m}}$$的取值范围为(

C

A.$${{−}{2}{⩽}{m}{<}{2}}$$

B.$${{2}{⩽}{m}{<}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{−}{2}{⩽}{m}{<}{2}}$$或$${{m}{=}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{−}{2}{\sqrt {2}}{⩽}{m}{⩽}{2}{\sqrt {2}}}$$

8、['直线与圆的位置关系及其判定', '直线与圆相交']

正确率80.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$相交于$${{P}}$$、$${{Q}}$$两点,且$${{∠}{P}{O}{Q}{=}{{9}{0}}{°}{(}}$$其中$${{O}}$$为原点$${{)}}$$,则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$

D

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$或$${\sqrt {2}}$$

D.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$

9、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%已知直线$${{l}}$$:$${{x}{−}{y}{+}{3}{=}{0}}$$与圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{3}}$$交于$${{A}}$$、$${{B}}$$两点,点$${{M}{(}{−}{1}{,}{3}{)}}$$,若圆$${{N}}$$过$${{A}}$$、$${{B}}$$、$${{M}}$$三点,则圆$${{N}}$$的标准方程为$${{(}{)}}$$

D

A.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{1}}$$

B.$${{(}{x}{+}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$

C.$${{(}{x}{+}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{4}{{)}^{2}}{=}{1}}$$

D.$${{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{1}}$$

10、['直线与圆的位置关系及其判定', '直线和圆相切']

正确率80.0%已知$${{O}}$$为坐标原点,点$${{P}}$$在单位圆上,过点$${{P}}$$作圆$${{C}}$$:$${{(}{x}{−}{4}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{4}}$$的切线,切点为$${{Q}}$$,则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

B

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

以下是各题目的详细解析:

1. :两条直线没有公共点,说明它们平行或异面。因此,这是异面的必要条件,但不是充分条件(因为平行也无公共点)。
:点$$P(2,1)$$在圆外,代入圆的方程得$$4+1-2a+2a+2a+1>0$$,化简得$$2a+6>0$$,即$$a>-3$$。
:设$$s=\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$$,平方得$$1+2\sin x \cos x = \frac{1}{25}$$,故$$\sin x \cos x = -\frac{12}{25}$$。$$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - 2\sin x \cos x = \frac{49}{25}$$,因$$x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$$,$$\sin x - \cos x < 0$$,结果为$$-\frac{7}{5}$$。
:$$f'(x)=-x^2+x+2a$$,在$$(\frac{2}{3}, +\infty)$$上存在单调递增区间,需$$f'(x)>0$$在某点成立。$$f'(\frac{2}{3})=-\frac{4}{9}+\frac{2}{3}+2a>0$$,解得$$a>-\frac{1}{9}$$。
综上,4个结论均正确,选$$D$$。
3. 圆的方程化为标准形式$$(x+1)^2 + (y+1)^2 = 2$$,圆心$$(-1,-1)$$,半径$$r=\sqrt{2}$$。圆心到直线$$x-y-2=0$$的距离$$d=\frac{|-1+1-2|}{\sqrt{1+1}}=\sqrt{2}$$。最大距离为$$d+r=2\sqrt{2}$$,选$$B$$。
4. 直线方程整理为$$m(2x+y-7)+(x+y-4)=0$$,解方程组$$2x+y-7=0$$和$$x+y-4=0$$得定点$$(3,1)$$。圆心$$(1,2)$$到定点的距离$$d=\sqrt{(3-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}$$。圆半径$$R=\sqrt{30}$$,最小弦长为$$2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{30-5}=10$$,选$$A$$。
5. 圆方程为$$x^2 + (y-1)^2 = 1$$,曲线$$y=|x|-1$$为V形线。联立得$$x^2 + (|x|-2)^2 = 1$$,解得$$x^2=2$$或$$x^2=0$$,共3个交点,选$$B$$。
6. 圆心到直线$$y=x$$的距离$$d=\frac{|0-0|}{\sqrt{2}}=0$$。距离大于$$2$$的区域为圆环,面积为$$\pi(4^2 - (2\sqrt{2})^2)=8\pi$$。概率为$$\frac{8\pi}{16\pi}=\frac{1}{2}$$,选$$C$$。
7. 方程表示半圆$$y=\sqrt{4-x^2}$$与直线$$y=-x-m$$相切或相交于一点。解得$$m=2\sqrt{2}$$(相切)或$$-2 \leq m < 2$$(相交于一点),选$$C$$。
8. 由几何性质,$$OP \perp OQ$$,故$$|PQ|=\sqrt{2}$$。圆心到直线距离$$d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$$,弦长$$2\sqrt{1-d^2}=\sqrt{2}$$,解得$$k=\pm 1$$,选$$D$$。
9. 圆心$$(1,2)$$到直线$$x-y+3=0$$的距离$$d=\frac{|1-2+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$,弦长$$AB=2\sqrt{3-2}=2$$。圆$$N$$过$$A,B,M$$,其圆心为$$AB$$中垂线与$$MA$$中垂线的交点,计算得$$(-1,2)$$,半径$$1$$,方程为$$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$$,选$$A$$。
10. 设$$P$$在单位圆上,$$C(4,3)$$,半径$$r=2$$。$$|PQ|=\sqrt{|PC|^2 - r^2}$$,最小值为$$|PC|_{\text{min}}=\sqrt{(4-1)^2 + (3-0)^2}-1=5-1=4$$,故$$|PQ|_{\text{min}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$$,选$$B$$。
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