直线和圆相切-2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点月考进阶选择题自测题解析-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['椭圆的定义'， '直线和圆相切'， '二倍角的正弦、余弦、正切公式']

正确率40.0%已知$${{P}}$$是椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {3}=1$$上的一点$${，{{F}_{1}}{，}{{F}_{2}}}$$分别是该椭圆的左、右焦点，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆的半径为$$\frac{1} {2}，$$则$$\operatorname{t a n} \angle F_{1} P F_{2}=$$（）

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\frac{4 \sqrt{7}} {7}$$

D.$$\frac{3 \sqrt{7}} {7}$$

2、['向量的数量积的定义'， '直线和圆相切']

正确率60.0%已知$${{P}}$$是直线$$2 x+y+4=0$$上的动点，$$P A， ~ P B$$分别是圆$$C : x^{2}+y^{2}-2 y=0$$的两条切线，$${{A}{，}{B}}$$是切点，则$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}$$的最小值（）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C. $\text{[math]}$

D.$$\frac{1 2} {5}$$

3、['直线和圆相切'， '与圆有关的最值问题']

正确率60.0%由直线$$y=x+1$$上任意一点$${{P}}$$向圆$$( x-3 )^{2}+y^{2}=1$$引切线，切点为$${{Q}{，}}$$则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {7}}$$

D.$${{3}}$$

4、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '直线和圆相切']

正确率40.0%自圆$${{C}}$$：$$( x-3 )^{2}+( y+4 )^{2}=4$$外一点$$P ( x， ~ y )$$引该圆的一条切线，切点为$${{Q}{，}}$$若$${{P}{Q}}$$的长度等于点$${{P}}$$到原点$${{O}}$$的距离，则点$${{P}}$$的轨迹方程为（）

A.$$8 x-6 y-2 1=0$$

B.$$8 x+6 y-2 1=0$$

C.$$6 x+8 y-2 1=0$$

D.$$6 x-8 y-2 1=0$$

5、['直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左右焦点，$${{M}}$$是双曲线的右支上一点，则$${{Δ}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心的横坐标为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

6、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']

正确率60.0%若直线$$x-2 y+a=0$$与圆$$( \mathbf{\ensuremath{x}}-2 )^{\mathbf{\mathit{\ensuremath{2}}}}+y^{2}=1$$有公共点，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

A.$$[-\sqrt{5}， ~ \sqrt{5} ]$$

B.$$(-\sqrt{5}， ~ \sqrt{5} )$$

C.$$[-2-\sqrt{5}， ~-2+\sqrt{5} ]$$

D.$$[ 2-\sqrt{5}， ~ 2+\sqrt{5} ]$$

7、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']

正确率40.0%已知圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=5$$，直线$${{l}}$$：$$x \operatorname{c o s} \theta+y \operatorname{s i n} \theta=1 \left( 0 < \theta< \frac{\pi} {2} \right)$$.设圆$${{O}}$$上到直线$${{l}}$$的距离等于$${{1}}$$的点的个数为$${{k}}$$，则$${{k}{=}}$$（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

8、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线和圆相切']

正确率60.0%已知圆$${{C}}$$的圆心在直线$$3 x-y=0$$上，半径为$${{1}}$$且与直线$$4 x-3 y=0$$相切，则圆$${{C}}$$的标准方程是（）

A.$$( \textbf{x}-3 )^{\textbf{2}}+\textbf{} ( \textbf{y}-\frac{7} {3} )^{\textbf{2}}=1$$

B.$$( \mathrm{\ensuremath{x}}-2 )^{\begin{array} {c} {2} \\ {+\mathit{\ensuremath{( y-1 )}}^{\Sigma}=1} \\ \end{array}}$$或$$( \mathrm{~} x+2 \mathrm{~} )^{\mathrm{~} 2}+\mathrm{~} ( \mathrm{~} y+1 \mathrm{~} )^{\mathrm{~} 2}=1$$

C.$$( \mathrm{\ensuremath{x}}-1 )^{\mathrm{\ensuremath{2}} 2}+\mathrm{\ensuremath{( y-3 )}}^{\mathrm{\ensuremath{2}}}=1$$或$$( \mathbf{x}+1 ) \mathbf{\epsilon}^{2}+\mathbf{\epsilon} ( \mathbf{y}+3 ) \mathbf{\epsilon}^{2}=1$$

D.$$( x-\frac{3} {2} )^{2}+( y-1 )^{2}=1$$

9、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线和圆相切']

正确率60.0%半径为$${{1}}$$的圆$${{C}}$$的圆心在第四象限，且与直线$${{y}{=}{0}}$$和$$\sqrt{3} x-y-6=0$$均相切，则该圆的标准方程为（）

A.$$( x-1 )^{2}+( y-\sqrt{3} )^{2}=1$$

B.$$( x-\sqrt{3} )^{2}+( y-1 )^{2}=1$$

C.$$( x-1 )^{2}+( y+\sqrt{3} )^{2}=1$$

D.$$( x-\sqrt{3} )^{2}+( y+1 )^{2}=1$$

10、['直线和圆相切']

正确率80.0%圆$$x^{2}+y^{2}-4 x=0$$在点$$P ( 1， \sqrt{3} )$$处的切线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$x+\sqrt{3} y-2=0$$

B.$$x+\sqrt{3} y-4=0$$

C.$$x-\sqrt{3} y+4=0$$

D.$$x-\sqrt{3} y+2=0$$

1. 解析：

椭圆方程为 $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$$，半长轴 $$a=2$$，半短轴 $$b=\sqrt{3}$$，焦距 $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=1$$。焦点为 $$F_{1}(-1,0)$$ 和 $$F_{2}(1,0)$$。

设点 $$P(x,y)$$ 在椭圆上，$$\triangle PF_{1}F_{2}$$ 的周长为 $$2a+2c=6$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 2c \times |y|=|y|$$。

内切圆半径 $$r=\frac{1}{2}$$，面积公式为 $$\frac{1}{2} \times 6 \times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$，故 $$|y|=\frac{3}{2}$$，代入椭圆方程得 $$x=\pm 1$$。

计算 $$\angle F_{1}PF_{2}$$ 的正切值，利用向量法或余弦定理可得 $$\tan \angle F_{1}PF_{2} = \frac{4}{3}$$，故选 B。

2. 解析：

圆 $$C$$ 的方程为 $$x^{2}+(y-1)^{2}=1$$，圆心 $$(0,1)$$，半径 $$r=1$$。

设 $$P(x,y)$$ 在直线 $$2x+y+4=0$$ 上，切线长 $$PA = PB = \sqrt{PC^{2}-r^{2}} = \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}-1}$$。

$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = |PA|^{2} \cos \theta$$，其中 $$\theta$$ 为两切线夹角。利用几何关系化简得最小值为 $$3$$，故选 A。

3. 解析：

圆心 $$(3,0)$$，半径 $$r=1$$。$$PQ = \sqrt{PC^{2}-r^{2}}$$，其中 $$PC$$ 为点 $$P$$ 到圆心的距离。

设 $$P(x,x+1)$$，则 $$PC = \sqrt{(x-3)^{2}+(x+1)^{2}} = \sqrt{2x^{2}-4x+10}$$。

最小值为 $$\sqrt{7}$$，当 $$x=1$$ 时取得，故选 C。

4. 解析：

圆 $$C$$ 的圆心 $$(3,-4)$$，半径 $$r=2$$。$$PQ = \sqrt{PC^{2}-r^{2}} = \sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}-4}$$。

由题意 $$PQ = PO$$，即 $$\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}-4} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$，化简得 $$6x-8y-21=0$$，故选 D。

5. 解析：

双曲线 $$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$$，$$a=4$$，$$c=5$$。内切圆圆心横坐标为 $$a=4$$，故选 C。

6. 解析：

圆心 $$(2,0)$$，半径 $$r=1$$。直线 $$x-2y+a=0$$ 与圆有交点，则距离 $$\frac{|2+a|}{\sqrt{5}} \leq 1$$。

解得 $$a \in [-2-\sqrt{5}, -2+\sqrt{5}]$$，故选 C。

7. 解析：

圆心 $$(0,0)$$，半径 $$R=\sqrt{5}$$。直线距离 $$d=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}=1$$。

圆上点到直线距离为 $$1$$ 的点数为 $$2$$，因为 $$R-d > 0$$ 且 $$R+d > R$$，故选 B。

8. 解析：

设圆心 $$(a,3a)$$，与直线 $$4x-3y=0$$ 的距离为 $$1$$，即 $$\frac{|4a-9a|}{5}=1$$，解得 $$a=\pm 1$$。

圆心为 $$(1,3)$$ 或 $$(-1,-3)$$，圆方程为 $$(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=1$$ 或 $$(x+1)^{2}+(y+3)^{2}=1$$，故选 C。

9. 解析：

圆心 $$(a,b)$$ 在第四象限，$$b < 0$$。与 $$y=0$$ 的距离 $$|b|=1$$，故 $$b=-1$$。

与直线 $$\sqrt{3}x-y-6=0$$ 的距离 $$\frac{|\sqrt{3}a+1-6|}{2}=1$$，解得 $$a=\sqrt{3}$$。

圆方程为 $$(x-\sqrt{3})^{2}+(y+1)^{2}=1$$，故选 D。

10. 解析：

圆方程为 $$(x-2)^{2}+y^{2}=4$$，圆心 $$(2,0)$$。点 $$P(1,\sqrt{3})$$ 在圆上。

切线斜率为 $$-\frac{1}{\sqrt{3}}$$，方程为 $$x+\sqrt{3}y-4=0$$，故选 B。

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