1、['余弦定理及其应用'， '向量的数量积的定义'， '投影向量（投影）'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$$a x+b y+c=0$$与圆$$O_{\colon} ~ x^{2}+y^{2}=1$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$| A B |=\sqrt{3}$$，则$$\overrightarrow{O A}$$在$$\overrightarrow{O B}$$上的投影为（）
A
A.$$- \frac{1} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$- \frac{4} {3}$$
D.$${{0}}$$
2、['直线与圆相交']正确率60.0%若直线$$y=x+m$$与圆$$( x+1 )^{2}+( y+2 )^{2}=1$$交于$${{A}{B}}$$两点，且$$| A B |=2，$$则$${{m}{=}}$$（）
A
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
3、['直线与圆相交']正确率60.0%已知直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$：$$x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且线段$${{A}{B}}$$的中点为$$D ( 2， \sqrt{2} )，$$则$$| A B |=$$（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
4、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知圆$${{C}}$$的圆心与点$$P ~ ( \mathrm{\bf~-2}， \mathrm{\bf~ 1} )$$关于直线$$y=x+1$$对称，直线$$3 x+4 y-1 1=0$$与圆$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$点，且$$| A B |=6$$，则圆$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$x^{2}+~ ( \boldsymbol{y}+1 ) ~^{2}=1 8$$
B.$$( \mathbf{x}+1 )^{\mathbf{\phi}^{2}}+y^{2}=9$$
C.$$( x+1 ) \， \，^{2}+y^{2} \!=1 8$$
D.$$x^{2} ~+~ ( \ y+1 )^{\beta}=9$$
5、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '分层随机抽样的概念'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率40.0%某学校有$${{2}{5}{0}{0}}$$名学生，其中高一$${{1}{0}{0}{0}}$$人，高二$${{9}{0}{0}}$$人，高三$${{6}{0}{0}}$$人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取$${{1}{0}{0}}$$人，从高一和高三抽取样本数分别为$${{a}{，}{b}}$$，且直线$$a x+b y+8=0$$与以$$A ~ ( \textit{1}， \textit{-1} )$$为圆心的圆交于$${{B}{，}{C}}$$两点，且$$\angle B A C=1 2 0^{\circ}，$$则圆$${{C}}$$的方程为（）
C
A.$$( \boldsymbol{x}-\mathbf{1} )^{\textbf{2}}+\left( \boldsymbol{y}+\mathbf{1} \right)^{\textbf{2}}=\mathbf{1}$$
B.$$( \boldsymbol{x}-\mathbf{1} ) \， \mathbf{\omega}^{2}+\mathbf{\omega} ( \boldsymbol{y}+\mathbf{1} ) \， \mathbf{\omega}^{2}=\mathbf{2}$$
C.$$( \mathrm{\ensuremath{x-1}} )^{\mathrm{\ensuremath{2}}}+\mathrm{\ensuremath{( y+1 )}}^{\mathrm{\ensuremath{2}}}={\frac{1 8} {1 7}}$$
D.$$( \mathbf{x}-\mathbf{1} ) \mathbf{\tau}^{2}+\mathbf{\tau} ( \mathbf{y}+\mathbf{1} ) \mathbf{\tau}^{2}=\frac{1 2} {1 5}$$
6、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=r^{2}$$，点$$\textit{P} ( a， \ b ) \quad( \ a b \neq0 )$$是圆$${{O}}$$内一点，过点$${{P}}$$的圆$${{O}}$$的最短弦所在的直线为$${{l}_{1}}$$，直线$${{l}_{2}}$$的方程为$$b x-a y+r^{2}=0$$，那么（）
A
A.$$l_{1} / / l_{2}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
B.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
C.$$l_{1} / / l_{2}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相交
D.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相切
7、['圆的定义与标准方程'， '圆的一般方程'， '直线与圆相交']正确率60.0%直线$$x-y+4=0$$被圆$$x^{2}+y^{2}+4 x-4 y+6=0$$截得的弦长等于（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
8、['直线与圆相交'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%过$$A ~ ( \ 2 5， ~ \mathrm{~-2 ~} )$$作圆$$x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-6 2 0=0$$的弦，其中弦长为整数的弦共有（）
B
A.$${{7}{4}}$$条
B.$${{7}{2}}$$条
C.$${{3}{7}}$$条
D.$${{3}{6}}$$条
9、['双曲线的离心率'， '直线的点斜式方程'， '直线与圆相交'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的一个顶点作倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线与圆$$x^{2}+y^{2}=c^{2} ( c$$为双曲线焦距的一半)相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=\sqrt{5} b，$$则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
10、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率80.0%直线$$3 x+4 y+5=0$$与圆$$x^{2}+y^{2}=1 0$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，则$${{A}{B}}$$的长等于$${{(}{)}}$$
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}}$$
1. 解析：
首先，圆心 $$O$$ 到直线 $$ax + by + c = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$。弦长 $$|AB| = \sqrt{3}$$，根据弦长公式 $$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$，代入 $$r = 1$$ 得 $$\sqrt{3} = 2\sqrt{1 - d^2}$$，解得 $$d = \frac{1}{2}$$。
向量 $$\overrightarrow{OA}$$ 和 $$\overrightarrow{OB}$$ 的夹角为 $$\theta$$，由余弦定理得 $$|AB|^2 = |OA|^2 + |OB|^2 - 2|OA||OB|\cos\theta$$，即 $$3 = 1 + 1 - 2\cos\theta$$，解得 $$\cos\theta = -\frac{1}{2}$$。
$$\overrightarrow{OA}$$ 在 $$\overrightarrow{OB}$$ 上的投影为 $$|OA|\cos\theta = 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$，故选 A。
2. 解析：
圆心为 $$(-1, -2)$$，半径 $$r = 1$$。直线 $$y = x + m$$ 化为标准形式 $$x - y + m = 0$$，圆心到直线的距离 $$d = \frac{|-1 + 2 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m + 1|}{\sqrt{2}}$$。
弦长 $$|AB| = 2$$，根据弦长公式 $$2 = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$，即 $$1 = \sqrt{1 - \left(\frac{m + 1}{\sqrt{2}}\right)^2}$$，解得 $$\frac{(m + 1)^2}{2} = 0$$，故 $$m = -1$$，选 A。
3. 解析：
圆 $$C$$ 的方程化为标准形式 $$(x - 3)^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(3, 0)$$，半径 $$r = 2$$。
中点 $$D(2, \sqrt{2})$$ 到圆心的距离为 $$\sqrt{(2 - 3)^2 + (\sqrt{2} - 0)^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$$。
根据弦长公式 $$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 3} = 2$$，选 A。
4. 解析：
点 $$P(-2, 1)$$ 关于直线 $$y = x + 1$$ 的对称点为 $$C(0, -1)$$（对称点公式求解）。
直线 $$3x + 4y - 11 = 0$$ 到圆心 $$C(0, -1)$$ 的距离 $$d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times (-1) - 11|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3$$。
弦长 $$|AB| = 6$$，根据弦长公式 $$6 = 2\sqrt{r^2 - 9}$$，解得 $$r^2 = 18$$，故圆的方程为 $$x^2 + (y + 1)^2 = 18$$，选 A。
5. 解析：
分层抽样比例相同，高一抽取 $$a = \frac{1000}{2500} \times 100 = 40$$，高三抽取 $$b = \frac{600}{2500} \times 100 = 24$$。
直线方程为 $$40x + 24y + 8 = 0$$，化简为 $$5x + 3y + 1 = 0$$。
圆心 $$A(1, -1)$$ 到直线的距离 $$d = \frac{|5 \times 1 + 3 \times (-1) + 1|}{\sqrt{5^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}$$。
由 $$\angle BAC = 120^\circ$$，弦长 $$|BC| = 2r\sin(60^\circ) = r\sqrt{3}$$，又根据弦长公式 $$|BC| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$$，联立解得 $$r^2 = \frac{18}{17}$$，圆的方程为 $$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \frac{18}{17}$$，选 C。
6. 解析：
最短弦所在直线 $$l_1$$ 与 $$OP$$ 垂直，斜率为 $$-\frac{a}{b}$$，方程为 $$y - b = -\frac{a}{b}(x - a)$$，化简为 $$bx - ay = a^2 + b^2$$。
直线 $$l_2$$ 的方程为 $$bx - ay + r^2 = 0$$，显然 $$l_1 \parallel l_2$$。
圆心 $$O(0, 0)$$ 到 $$l_2$$ 的距离 $$d = \frac{r^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$，由于 $$P(a, b)$$ 在圆内，$$a^2 + b^2 < r^2$$，故 $$d > r$$，即 $$l_2$$ 与圆相离，选 A。
7. 解析：
圆的方程化为标准形式 $$(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$$，圆心 $$(-2, 2)$$，半径 $$r = \sqrt{2}$$。
直线 $$x - y + 4 = 0$$ 到圆心的距离 $$d = \frac{|-2 - 2 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 0$$，即直线通过圆心，弦长为直径 $$2r = 2\sqrt{2}$$，选 C。
8. 解析：
圆的方程化为标准形式 $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 625$$，圆心 $$(1, -2)$$，半径 $$r = 25$$。
点 $$A(25, -2)$$ 到圆心的距离 $$d = \sqrt{(25 - 1)^2 + (-2 + 2)^2} = 24$$。
最短弦长为 $$2\sqrt{625 - 576} = 14$$，最长弦长为直径 $$50$$，故弦长取值范围为 $$[14, 50]$$ 的整数，共 $$50 - 14 + 1 = 37$$ 条，选 C。
9. 解析：
双曲线的一个顶点为 $$(a, 0)$$，直线斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，方程为 $$y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - a)$$。
圆心 $$(0, 0)$$ 到直线的距离 $$d = \frac{\left|\frac{-a}{\sqrt{3}}\right|}{\sqrt{1 + \frac{1}{3}}} = \frac{a}{2}$$。
弦长 $$|AB| = 2\sqrt{c^2 - d^2} = \sqrt{5}b$$，即 $$4(c^2 - \frac{a^2}{4}) = 5b^2$$，化简得 $$4c^2 = a^2 + 5b^2$$。
由双曲线性质 $$c^2 = a^2 + b^2$$，代入得 $$4a^2 + 4b^2 = a^2 + 5b^2$$，解得 $$3a^2 = b^2$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = 2$$，选 C。
10. 解析：
圆心 $$(0, 0)$$ 到直线 $$3x + 4y + 5 = 0$$ 的距离 $$d = \frac{5}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 1$$。
圆的半径 $$r = \sqrt{10}$$，弦长 $$|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{10 - 1} = 6$$，选 C。
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