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正确率40.0%已知圆$$C_{1} \colon~ x^{2}-2 a x+y^{2}=0 ( a > 0 )$$，直线$$l \colon~ x+\sqrt{3} y=0$$，圆$${{C}_{1}}$$上恰有$${{3}}$$个点到直线$${{l}}$$的距离等于$${{1}}$$，则圆$${{C}_{1}}$$与圆$$C_{2} \colon~ ( x-1 )^{2}+( y-\sqrt{2} )^{2}=1$$的位置关系是$${{(}{)}}$$
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
2、['直线与圆的位置关系及其判定'， '利用基本不等式求最值']正确率80.0%若直线$$2 m x-n y=-2 ( m > 0， n > 0 )$$被圆$$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+1=0$$截得的弦长为$${{4}}$$，则$$\frac{1} {m}+\frac{1} {n}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A.$${{9}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{1} {2}$$
D.$$\frac{1} {4}$$
3、['点与圆的位置关系'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知点$$P \left( \begin{matrix} {x， \ y} \\ \end{matrix} \right)$$是圆$$( x+2 )^{\textit{2}}+y^{2}=2$$上任意一点，则$$\frac{y} {x}$$的取值范围是（）
C
A.$$[-\sqrt{2}， ~ \sqrt{2} ]$$
B.$$( \mathbf{\epsilon}-\infty， \ \ -\sqrt{2} \big] \cup[ \sqrt{2}， \ \ +\infty)$$
C.$$[-1， ~ 1 ]$$
D.$$( \mathbf{\alpha}-\infty， \mathbf{\alpha}-1 \big] \cup[ 1， \mathbf{\alpha}+\infty)$$
4、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率40.0%直线$$3 x+4 y=m$$与圆$$x^{2}+y^{2}-2 x-2 y+1=0$$相切，则实数$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$${{−}{2}}$$或$${{1}{2}}$$
B.$${{2}}$$或$${{−}{{1}{2}}}$$
C.$${{−}{2}}$$或$${{−}{{1}{2}}}$$
D.$${{2}}$$或$${{1}{2}}$$
5、['点到直线的距离'， '圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知直线$$y=x+m$$与曲线$${{x}{=}{\sqrt {{1}{−}{{y}^{2}}}}}$$有两个公共点，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
B
A.$$[-1， \sqrt{2} )$$
B.$$(-\sqrt{2}， ~-1 ]$$
C.$$[ 1， ~ \sqrt{2} )$$
D.$$(-\sqrt{2}， ~ 1 ]$$
6、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%设$$a， b \in\mathbf{R}$$，则$$\left( 6-8 b+\operatorname{c o s} a \right)^{2}+\left( 8+6 b-\operatorname{s i n} a \right)^{2}$$的最小值为（）
D
A.$${{1}{1}}$$
B.$${{1}{2}{1}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{8}{1}}$$
7、['点与圆的位置关系'， '两点间的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率60.0%已知圆$$C : \left( x-1 \right)^{2}+\left( y-2 \right)^{2}=2 5$$，直线$$l : ( 2 m+1 ) x+( m+1 ) y-7 m-4=0 ( m \in R )$$，则直线与圆交点的个数为：$${（}$$）
C
A.$${{0}}$$个
B.$${{1}}$$个
C.$${{2}}$$个
D.随$${{m}}$$的变化而变化
8、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率80.0%若直线$$y=k x+1$$与圆$$x^{2}+y^{2}=1$$相交于$${{P}}$$、$${{Q}}$$两点，且$$\angle P O Q=9 0^{\circ} ($$其中$${{O}}$$为原点$${{)}}$$，则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$或$${\sqrt {2}}$$
D.$${{−}{1}}$$或$${{1}}$$
9、['圆的定义与标准方程'， '直线与圆的位置关系及其判定']正确率80.0%过圆$$x^{2}+y^{2}=4$$外一点$$P ( 4， 2 )$$作圆的两条切线，切点分别为$${{A}}$$，$${{B}}$$，则$${{△}{A}{B}{P}}$$的外接圆方程是$${{(}{)}}$$
D
A.$$( x-4 )^{2}+( y-2 )^{2}=1$$
B.$$x^{2}+( y-2 )^{2}=4$$
C.$$( x+2 )^{2}+( y+1 )^{2}=5$$
D.$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=5$$
10、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率80.0%若直线$$( 1+a ) x+y+1=0$$与圆$$x^{2}+y^{2}-2 x=0$$相切，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{−}{1}}$$，$${{1}}$$
B.$${{−}{2}}$$，$${{2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
1. 解析：
圆 $$C_1$$ 的方程为 $$x^2 - 2a x + y^2 = 0$$，可化为标准形式 $$(x - a)^2 + y^2 = a^2$$，圆心为 $$(a, 0)$$，半径为 $$a$$。
直线 $$l$$ 为 $$x + \sqrt{3} y = 0$$，其到圆心 $$(a, 0)$$ 的距离为 $$d = \frac{|a|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{a}{2}$$。
圆 $$C_1$$ 上有 3 个点到直线 $$l$$ 的距离为 1，说明 $$d + 1 = a$$ 或 $$d - 1 = a$$（因为 $$a > 0$$），解得 $$a = 2$$。
圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(1, \sqrt{2})$$，半径为 1。两圆心距离为 $$\sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3}$$，而半径和为 3，半径差为 1。因为 $$1 < \sqrt{3} < 3$$，所以两圆相交。
答案为 B. 相交。
2. 解析：
圆的方程为 $$x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$$，化为标准形式 $$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$$，圆心为 $$(-1, 2)$$，半径为 2。
直线 $$2m x - n y = -2$$ 改写为 $$2m x - n y + 2 = 0$$。弦长为 4，说明直线到圆心的距离 $$d = \sqrt{2^2 - 2^2} = 0$$，即直线通过圆心。
代入圆心坐标得 $$2m(-1) - n(2) + 2 = 0$$，即 $$-2m - 2n + 2 = 0$$，化简为 $$m + n = 1$$。
求 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$$ 的最小值，由调和不等式 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq \frac{4}{m + n} = 4$$，当 $$m = n = \frac{1}{2}$$ 时取等。
答案为 B. 4。
3. 解析：
圆的方程为 $$(x + 2)^2 + y^2 = 2$$，圆心为 $$(-2, 0)$$，半径为 $$\sqrt{2}$$。
设 $$\frac{y}{x} = k$$，即 $$y = k x$$。代入圆的方程得 $$(x + 2)^2 + (k x)^2 = 2$$，展开为 $$(1 + k^2) x^2 + 4x + 2 = 0$$。
判别式 $$\Delta = 16 - 8(1 + k^2) \geq 0$$，解得 $$k^2 \leq 1$$，即 $$k \in [-1, 1]$$。
答案为 C. [-1, 1]。
4. 解析：
圆的方程为 $$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$$，化为标准形式 $$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$$，圆心为 $$(1, 1)$$，半径为 1。
直线 $$3x + 4y = m$$ 到圆心的距离为 $$d = \frac{|3(1) + 4(1) - m|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|7 - m|}{5} = 1$$。
解得 $$7 - m = \pm 5$$，即 $$m = 2$$ 或 $$m = 12$$。
答案为 D. 2 或 12。
5. 解析：
曲线 $$x = \sqrt{1 - y^2}$$ 表示右半圆 $$x \geq 0$$ 且 $$x^2 + y^2 = 1$$。
直线 $$y = x + m$$ 与半圆有两个交点，需满足直线与圆相交且 $$x \geq 0$$。
圆心到直线的距离 $$d = \frac{|m|}{\sqrt{2}} \leq 1$$，即 $$|m| \leq \sqrt{2}$$。
同时，直线在 $$x = 0$$ 处的 $$y = m$$ 需满足 $$m \leq 1$$（否则仅有一个交点）。
综合得 $$m \in [-\sqrt{2}, 1)$$。
答案为 D. (-\sqrt{2}, 1]。
6. 解析：
表达式可视为点 $$(6 - 8b, 8 + 6b)$$ 到点 $$(\cos a, \sin a)$$ 的距离平方。
点 $$(6 - 8b, 8 + 6b)$$ 的轨迹为直线 $$6x + 8y = 100$$（化简为 $$3x + 4y = 50$$）。
点 $$(\cos a, \sin a)$$ 的轨迹为单位圆 $$x^2 + y^2 = 1$$。
最小距离为直线到圆心的距离减去半径，即 $$\frac{|3(0) + 4(0) - 50|}{5} - 1 = 10 - 1 = 9$$。
距离平方的最小值为 $$9^2 = 81$$。
答案为 D. 81。
7. 解析：
直线 $$l$$ 可整理为 $$(2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0$$，对任意 $$m$$ 成立，需满足 $$2x + y - 7 = 0$$ 且 $$x + y - 4 = 0$$。
解得 $$x = 3$$，$$y = 1$$，即直线恒过点 $$(3, 1)$$。
点 $$(3, 1)$$ 到圆心 $$(1, 2)$$ 的距离为 $$\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5} < 5$$（半径），故直线与圆恒有两个交点。
答案为 C. 2 个。
8. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 的半径为 1，$$\angle POQ = 90^\circ$$ 说明弦长 $$PQ = \sqrt{2}$$。
直线 $$y = kx + 1$$ 到圆心的距离 $$d = \frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}$$，弦长公式为 $$2\sqrt{1 - d^2} = \sqrt{2}$$。
解得 $$d = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，即 $$\frac{1}{\sqrt{1 + k^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，得 $$k^2 = 1$$，$$k = \pm 1$$。
答案为 D. -1 或 1。
9. 解析：
点 $$P(4, 2)$$ 到圆心 $$(0, 0)$$ 的距离为 $$\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$$，切线长为 $$\sqrt{20 - 4} = 4$$。
$$△ABP$$ 的外接圆是以 $$P$$ 为圆心，切线长为半径的圆，方程为 $$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 16$$，但选项中没有。
实际上，外接圆是 $$P$$ 和 $$A, B$$ 的垂直平分线的交点，即 $$(2, 1)$$，半径为 $$\sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5}$$。
方程为 $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5$$。
答案为 D. (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 5。
10. 解析：
圆的方程为 $$x^2 + y^2 - 2x = 0$$，化为标准形式 $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$，圆心为 $$(1, 0)$$，半径为 1。
直线 $$(1 + a)x + y + 1 = 0$$ 到圆心的距离 $$d = \frac{|1 + a + 0 + 1|}{\sqrt{(1 + a)^2 + 1}} = 1$$。
化简得 $$|a + 2| = \sqrt{(1 + a)^2 + 1}$$，平方后得 $$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2a + 2$$，解得 $$2a = -2$$，即 $$a = -1$$。
答案为 D. -1。