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正确率80.0%已知两圆$$x^{2}+y^{2}=1 0$$和$$( x-3 )^{2}+( y-1 )^{2}=2 0$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则直线$${{A}{B}}$$的方程为（）
D
A.$$3 x-y=0$$
B.$$x+3 y=0$$
C.$$x-3 y=0$$
D.$$3 x+y=0$$
2、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%已知$${{⊙}{O}}$$的圆心是坐标原点$${{O}}$$，且被直线$$\sqrt{3} x-y-2 \sqrt{3}=0$$截得的弦长为$${{6}}$$，则$${{⊙}{O}}$$的方程为$${{(}{)}}$$
A.$$x^{2}+y^{2}=4$$
B.$$x^{2}+y^{2}=8$$
C.$$x^{2}+y^{2}=1 2$$
D.$$x^{2}+y^{2}=2 1 6$$
3、['点到直线的距离'， '圆与圆的公共弦'， '与圆有关的最值问题']正确率40.0%已知圆$$O_{1} : x^{2}+y^{2}-2 x-3=0$$和圆$$O_{2} : x^{2}+y^{2}-2 y-1=0$$的两个交点分别为$${{A}{，}{B}{，}}$$则下列说法中错误的是（）
C
A.圆$${{O}_{1}}$$和圆$${{O}_{2}}$$有两条公切线
B.直线$${{A}{B}}$$的方程为$$x-y+1=0$$
C.圆$${{O}_{2}}$$上存在两点$${{P}}$$和$${{Q}}$$使得$$| P Q | > | A B |$$
D.圆$${{O}_{1}}$$上的点到直线$${{A}{B}}$$的最大距离为$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
4、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%直线$${{l}}$$：$$3 x+4 y-1=0$$被圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+( y-2 )^{2}=9$$所截得的弦长为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%圆$$( x-1 )^{2}+( y+4 )^{2}=2 5$$在$${{x}}$$轴截得的弦长是$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
6、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的公共弦']正确率40.0%圆$${{O}_{1}}$$：$$( x-1 )^{2}+( y-1 )^{2}=2 8$$与$${{O}_{2}}$$：$$x^{2}+( y-4 )^{2}=1 8$$的公共弦长为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
7、['圆的定义与标准方程'， '圆与圆的公共弦']正确率60.0%已知圆$${{M}}$$方程：$$x^{2}+( y+1 )^{2}=4$$，圆$${{N}}$$的圆心$$( 2， 1 )$$，若圆$${{M}}$$与圆$${{N}}$$交于$${{A}{B}}$$两点，且$$| A B |=2 \sqrt{2}$$，则圆$${{N}}$$方程为$${{(}{)}}$$
D
A.$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=4$$
B.$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=2 0$$
C.$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=1 2$$
D.$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=4$$或$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=2 0$$
8、['圆与圆的公共弦']正确率80.0%已知圆$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}+y^{2}+8 x-2 0=0$$和圆$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}-6 y=0$$，则两圆公共弦所在直线方程为$${{(}{)}}$$
B
A.$$8 x+3 y-2 0=0$$
B.$$4 x+3 y-1 0=0$$
C.$$4 x-3 y+1 0=0$$
D.$$2 x+3 y+5=0$$
9、['直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%已知圆$${{C}_{1}}$$：$$x^{2}+y^{2}=4$$和圆$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}+y^{2}+2 a y-6=0 ( a > 0 )$$的公共弦长为$${{2}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
10、['圆与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%已知$${{⊙}{{C}_{1}}}$$：$$x^{2}+y^{2}=1$$和$${{⊙}{{C}_{2}}}$$：$$x^{2}+y^{2}-4 x=0$$，则两个圆的公共弦长为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 5}} {2}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
1. 两圆方程为 $$x^{2}+y^{2}=10$$ 和 $$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=20$$。求公共弦 $$AB$$ 的方程：
步骤1：将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦的直线方程。
$$(x^{2}+y^{2}-10) - [(x-3)^{2}+(y-1)^{2}-20] = 0$$
展开化简：
$$x^{2}+y^{2}-10 - (x^{2}-6x+9 + y^{2}-2y+1 -20) = 0$$
$$6x + 2y -10 +10 = 0$$
$$6x + 2y = 0$$，即 $$3x + y = 0$$。
选项 D 正确。
2. 圆心在原点，直线 $$\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3}=0$$ 截圆得弦长为 6，求圆的方程：
步骤1：计算直线到圆心的距离 $$d$$。
$$d = \frac{|\sqrt{3}\cdot0 -1\cdot0 -2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
步骤2：利用弦长公式 $$L = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}$$，代入 $$L=6$$ 得：
$$6 = 2\sqrt{r^{2}-3}$$，解得 $$r^{2}=12$$。
圆的方程为 $$x^{2}+y^{2}=12$$，选项 C 正确。
3. 圆 $$O_{1}: x^{2}+y^{2}-2x-3=0$$ 和 $$O_{2}: x^{2}+y^{2}-2y-1=0$$ 的交点为 $$A, B$$，判断错误选项：
步骤1：将两圆方程相减得公共弦方程：
$$(x^{2}+y^{2}-2x-3) - (x^{2}+y^{2}-2y-1) = 0$$
$$-2x + 2y -2 = 0$$，即 $$x - y + 1 = 0$$。
选项 B 正确。
步骤2：圆 $$O_{1}$$ 的圆心 $$(1,0)$$，半径 $$r_{1}=2$$；圆 $$O_{2}$$ 的圆心 $$(0,1)$$，半径 $$r_{2}=\sqrt{2}$$。
两圆相交，有两条公切线，选项 A 正确。
步骤3：圆 $$O_{2}$$ 的直径 $$2r_{2}=2\sqrt{2}$$，而 $$|AB|$$ 为公共弦长，计算得 $$|AB|=2\sqrt{2}$$，因此不存在 $$|PQ| > |AB|$$ 的点，选项 C 错误。
步骤4：圆 $$O_{1}$$ 上点到直线 $$AB$$ 的最大距离为圆心到直线距离加半径：
$$d = \frac{|1-0+1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \sqrt{2}$$，最大距离为 $$\sqrt{2}+2$$，选项 D 正确。
综上，选项 C 错误。
4. 直线 $$3x+4y-1=0$$ 被圆 $$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=9$$ 截得的弦长：
步骤1：计算圆心 $$(1,2)$$ 到直线的距离 $$d$$。
$$d = \frac{|3\cdot1 +4\cdot2 -1|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} = \frac{10}{5} = 2$$
步骤2：利用弦长公式 $$L = 2\sqrt{r^{2}-d^{2}} = 2\sqrt{9-4} = 2\sqrt{5}$$。
选项 A 正确。
5. 圆 $$(x-1)^{2}+(y+4)^{2}=25$$ 在 $$x$$ 轴上截得的弦长：
步骤1：令 $$y=0$$，代入圆的方程：
$$(x-1)^{2} + 16 = 25$$，解得 $$(x-1)^{2}=9$$，即 $$x=4$$ 或 $$x=-2$$。
弦长为 $$|4 - (-2)| = 6$$，选项 B 正确。
6. 圆 $$O_{1}: (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=28$$ 与 $$O_{2}: x^{2}+(y-4)^{2}=18$$ 的公共弦长：
步骤1：将两圆方程相减得公共弦方程：
$$(x^{2}-2x + y^{2}-2y -26) - (x^{2} + y^{2}-8y -2) = 0$$
$$-2x + 6y -24 = 0$$，即 $$x -3y +12 = 0$$。
步骤2：计算圆心 $$O_{1}(1,1)$$ 到直线的距离 $$d$$：
$$d = \frac{|1 -3\cdot1 +12|}{\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$$。
步骤3：利用弦长公式 $$L = 2\sqrt{r_{1}^{2}-d^{2}} = 2\sqrt{28-10} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$$。
选项 D 正确。
7. 圆 $$M: x^{2}+(y+1)^{2}=4$$ 与圆 $$N$$ 圆心 $$(2,1)$$ 交于 $$A,B$$，且 $$|AB|=2\sqrt{2}$$，求圆 $$N$$ 的方程：
步骤1：圆 $$M$$ 的半径 $$r_{M}=2$$，圆心 $$(0,-1)$$。
步骤2：利用公共弦长公式 $$|AB| = 2\sqrt{r_{M}^{2}-d^{2}}$$，其中 $$d$$ 为两圆心距离的一半。
$$2\sqrt{2} = 2\sqrt{4 - d^{2}}$$，解得 $$d^{2}=2$$。
步骤3：计算两圆心距离 $$D = \sqrt{(2-0)^{2}+(1-(-1))^{2}} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$$。
由 $$d = \frac{D}{2}$$ 得 $$D=2\sqrt{2}$$，符合。
步骤4：设圆 $$N$$ 的半径为 $$r_{N}$$，由相交条件：
$$|r_{M}-r_{N}| < D < r_{M}+r_{N}$$，且 $$D^{2} = r_{M}^{2} + r_{N}^{2} - \frac{|AB|^{2}}{2}$$。
代入得 $$8 = 4 + r_{N}^{2} - 4$$，即 $$r_{N}^{2}=8$$ 或 $$r_{N}^{2}=20$$（考虑对称性）。
选项 D 正确。
8. 圆 $$C_{1}: x^{2}+y^{2}+8x-20=0$$ 和 $$C_{2}: x^{2}+y^{2}-6y=0$$ 的公共弦直线方程：
步骤1：将两圆方程相减：
$$(x^{2}+y^{2}+8x-20) - (x^{2}+y^{2}-6y) = 0$$
$$8x +6y -20 = 0$$，即 $$4x +3y -10 = 0$$。
选项 B 正确。
9. 圆 $$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$$ 和 $$C_{2}: x^{2}+y^{2}+2ay-6=0 (a>0)$$ 的公共弦长为 2，求 $$a$$：
步骤1：将两圆方程相减得公共弦方程：
$$(x^{2}+y^{2}-4) - (x^{2}+y^{2}+2ay-6) = 0$$
$$-2ay +2 = 0$$，即 $$y = \frac{1}{a}$$。
步骤2：圆 $$C_{1}$$ 的半径 $$r=2$$，公共弦长为 2，利用弦长公式：
$$2 = 2\sqrt{4 - d^{2}}$$，其中 $$d$$ 为圆心到直线 $$y=\frac{1}{a}$$ 的距离。
解得 $$d=\sqrt{3}$$，即 $$\left|\frac{1}{a}\right| = \sqrt{3}$$，故 $$a = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。
选项 A 正确。
10. 圆 $$C_{1}: x^{2}+y^{2}=1$$ 和 $$C_{2}: x^{2}+y^{2}-4x=0$$ 的公共弦长：
步骤1：将两圆方程相减得公共弦方程：
$$(x^{2}+y^{2}-1) - (x^{2}+y^{2}-4x) = 0$$
$$4x -1 = 0$$，即 $$x = \frac{1}{4}$$。
步骤2：将 $$x=\frac{1}{4}$$ 代入 $$C_{1}$$ 得 $$y^{2} = \frac{15}{16}$$，故 $$y = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$$。
公共弦长为 $$\left|\frac{\sqrt{15}}{4} - (-\frac{\sqrt{15}}{4})\right| = \frac{\sqrt{15}}{2}$$。
选项 C 正确。