直线与圆的位置关系及其判定-直线与圆、圆与圆的位置关系知识点专题进阶自测题答案-天津市等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%已知圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$，直线$${{l}}$$：$${{2}{x}{−}{y}{+}{4}{=}{0}}$$，点$${{P}}$$为直线$${{l}}$$上任意一点，过$${{P}}$$作圆$${{C}}$$的一条切线，切点为$${{A}}$$，则切线段$${{P}{A}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{8 \sqrt{5}} {5}$$

B.$$\frac{2 \sqrt{5 5}} {5}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

2、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']

正确率80.0%直线$${\sqrt {3}{x}{−}{y}{=}{0}}$$与圆$${{M}}$$：$$x^{2}+y^{2}-m x+\frac{1} {4}=0$$相切，则实数$${{m}}$$的值是$${{(}{)}}$$

A.$${{±}{1}}$$

B.$${{±}{2}}$$

C.$${{±}{4}}$$

D.$${{±}{8}}$$

3、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%已知圆$${{C}}$$：$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{2}{{)}^{2}}{=}{{3}{0}}}$$，直线$${{l}}$$：$${{(}{2}{m}{+}{1}{)}{x}{+}{(}{m}{+}{1}{)}{y}{−}{7}{m}{−}{4}{=}{0}}$$，则直线$${{l}}$$被圆$${{C}}$$截得的弦长的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{1}{0}}$$

B.$${{4}{\sqrt {5}}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{2}{\sqrt {5}}}$$

4、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']

正确率60.0%已知直线$${{l}{：}{y}{=}{\sqrt {3}}{x}{+}{m}}$$与圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{（}{y}{−}{3}{）^{2}}{=}{6}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{∠}{A}{C}{B}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}{，}}$$则实数$${{m}}$$的值为（）

A.$${{3}{+}{\sqrt {6}}}$$或$${{3}{−}{\sqrt {6}}}$$

B.$${{3}{+}{2}{\sqrt {6}}}$$或$${{3}{−}{2}{\sqrt {6}}}$$

C.$${{9}}$$或$${{−}{3}}$$

D.$${{8}}$$或$${{−}{2}}$$

5、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']

正确率40.0%已知$${{⊙}{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{x}{−}{6}{y}{−}{3}{=}{0}}$$，点$${{M}{（}{−}{2}{，}{0}{）}}$$是$${{⊙}{C}}$$外一点，则过点$${{M}}$$的圆的切线的方程是（）

A.$${{x}{+}{2}{=}{0}{，}{7}{x}{−}{{2}{4}}{y}{+}{{1}{4}}{=}{0}}$$

B.$${{y}{+}{2}{=}{0}{，}{7}{x}{+}{{2}{4}}{y}{+}{{1}{4}}{=}{0}}$$

C.$${{x}{+}{2}{=}{0}{，}{7}{x}{+}{{2}{4}}{y}{+}{{1}{4}}{=}{0}}$$

D.$${{y}{+}{2}{=}{0}{，}{7}{x}{−}{{2}{4}}{y}{+}{{1}{4}}{=}{0}}$$

6、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率40.0%已知直线$${{l}}$$的方程为：$${（{m}{+}{2}{）}{x}{+}{3}{y}{+}{2}{m}{+}{1}{=}{0}}$$，圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{6}}$$，则直线$${{l}}$$与圆$${{C}}$$的位置关系一定是（）

A.相离

B.相切

C.相交

D.不确定

7、['圆的一般方程'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '圆中的对称问题']

正确率40.0%点$${{M}{，}{N}}$$在圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{k}{x}{−}{2}{y}{=}{0}}$$上，且关于直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$对称，则$${{k}{=}{（}}$$）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

8、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '两条直线垂直']

正确率40.0%已知圆$${{O}}$$：$$x^{2}+y^{2}=\frac{2 m-2} {m^{2}+1}$$，直线$${{l}}$$：$${{m}{x}{−}{y}{−}{\sqrt {2}}{=}{0}{(}{m}{≠}{0}{)}}$$与圆$${{O}}$$没有公共点，斜率为$${{k}}$$的直线$${{l}^{′}}$$与直线$${{l}}$$垂直，则$${{m}{−}{2}{k}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$

B.$${{[}{2}{\sqrt {2}}{，}{3}{)}}$$

C.$${{(}{1}{，}{2}{\sqrt {2}}{]}}$$

D.$${{[}{2}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$

9、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线的倾斜角']

正确率40.0%若过原点的直线$${{l}}$$与圆$${{x}^{2}{−}{4}{x}{+}{{y}^{2}}{+}{3}{=}{0}}$$有两个交点，则$${{l}}$$的倾斜角的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$(-\frac{\pi} {3}， \frac{\pi} {3} )$$

B.$$(-\frac{\pi} {6}， \frac{\pi} {6} )$$

C.$$[ 0， \frac{\pi} {6} ) \cup\left( \frac{5 \pi} {6}， \pi\right)$$

D.$$[ 0， \frac{\pi} {3} \Big) \cup\left( \frac{2 \pi} {3}， \pi\right)$$

10、['直线与圆的位置关系及其判定']

正确率80.0%已知直线$${{l}}$$：$${{y}{=}{−}{3}{x}{+}{6}}$$与圆$${{C}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，过点$${{A}}$$，$${{B}}$$及$${{(}{3}{，}{0}{)}}$$的圆的方程为$${{(}{)}}$$

A.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{x}{−}{4}{y}{+}{9}{=}{0}}$$

B.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{+}{6}{x}{−}{4}{y}{−}{{2}{7}}{=}{0}}$$

C.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{y}{−}{9}{=}{0}}$$

D.$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{3}{x}{−}{4}{y}{=}{0}}$$

1. 解析：

圆$$C$$的圆心为$$(2,0)$$，半径$$r=2$$。直线$$l$$的斜率为$$2$$，截距为$$4$$。点$$P$$在直线$$l$$上，设$$P(x, 2x+4)$$。切线长度$$PA$$的最小值即为圆心到直线$$l$$的距离减去半径。圆心到直线$$l$$的距离为：$$d = \frac{|2 \cdot 2 - 0 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$$。因此，$$PA = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^2 - 4} = \sqrt{\frac{64}{5} - 4} = \sqrt{\frac{44}{5}}} = \frac{2 \sqrt{55}}{5}$$。答案为$$B$$。

2. 解析：

圆$$M$$的标准方程为$$(x - \frac{m}{2})^2 + y^2 = \frac{m^2 - 1}{4}$$。直线$$\sqrt{3}x - y = 0$$与圆相切，故圆心$$(\frac{m}{2}, 0)$$到直线的距离等于半径$$\frac{\sqrt{m^2 - 1}}{2}$$。距离公式为：$$\frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{m}{2} - 0|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}|m|}{4} = \frac{\sqrt{m^2 - 1}}{2}$$。解得$$m^2 = 4$$，即$$m = \pm 2$$。答案为$$B$$。

3. 解析：

圆$$C$$的圆心为$$(1,2)$$，半径$$r = \sqrt{30}$$。直线$$l$$可以整理为$$(2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0$$，其恒过点$$(3,1)$$。圆心到点$$(3,1)$$的距离为$$\sqrt{(3-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{5}$$。弦长的最小值为$$2 \sqrt{r^2 - d^2} = 2 \sqrt{30 - 5} = 2 \sqrt{25} = 10$$。答案为$$A$$。

4. 解析：

圆$$C$$的圆心为$$(0,3)$$，半径$$r = \sqrt{6}$$。由$$∠ACB = 120^\circ$$，可得弦$$AB$$对应的圆心角为$$120^\circ$$。弦长$$AB = 2r \sin(60^\circ) = 2 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{2}$$。圆心到直线$$l$$的距离为$$d = \frac{|0 - 3 + m|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{|m - 3|}{2}$$。由弦长公式$$AB = 2 \sqrt{r^2 - d^2}$$，代入得$$3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{6 - \frac{(m-3)^2}{4}}$$，解得$$m = 3 \pm 2 \sqrt{6}$$。答案为$$B$$。

5. 解析：

圆$$C$$的标准方程为$$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$$，圆心$$(2,3)$$，半径$$4$$。点$$M(-2,0)$$在圆外。设切线斜率为$$k$$，方程为$$y = k(x + 2)$$。由切线条件，距离等于半径：$$\frac{|2k - 3 + 2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 4$$，解得$$k = \frac{7}{24}$$或斜率不存在（垂直切线）。因此，切线方程为$$x + 2 = 0$$和$$7x - 24y + 14 = 0$$。答案为$$A$$。

6. 解析：

直线$$l$$可以整理为$$(x + 2)m + (2x + 3y + 1) = 0$$，其恒过点$$(-2,1)$$。点$$(-2,1)$$到圆心$$(0,0)$$的距离为$$\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} < \sqrt{6}$$，故点在圆内，直线$$l$$必与圆相交。答案为$$C$$。

7. 解析：

圆的圆心为$$(-\frac{k}{2}, 1)$$。由于点$$M$$和$$N$$关于直线$$y = kx + 1$$对称，圆心必在直线上。代入得$$1 = k \cdot (-\frac{k}{2}) + 1$$，解得$$k = 0$$或$$k = 2$$。但$$k = 0$$时直线为$$y = 1$$，圆心$$(0,1)$$在直线上，但题目描述为“对称”，更可能$$k = 2$$。验证$$k = 2$$时圆心$$(-1,1)$$在直线$$y = 2x + 1$$上，符合题意。答案为$$C$$。

8. 解析：

圆$$O$$的半径$$r = \sqrt{\frac{2m - 2}{m^2 + 1}}$$。直线$$l$$与圆无交点，故距离大于半径：$$\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{\frac{2m - 2}{m^2 + 1}}$$，解得$$m < 1$$。直线$$l'$$斜率为$$k = -\frac{1}{m}$$。$$m - 2k = m + \frac{2}{m}$$，在$$m < 0$$时，$$m + \frac{2}{m} \leq -2 \sqrt{2}$$；在$$0 < m < 1$$时，$$m + \frac{2}{m} > 3$$。但题目要求$$m \neq 0$$，综合选项，答案为$$B$$。

9. 解析：

圆的标准方程为$$(x-2)^2 + y^2 = 1$$，圆心$$(2,0)$$，半径$$1$$。直线$$l$$过原点，设斜率为$$k$$，方程为$$y = kx$$。由相交条件，距离小于半径：$$\frac{|2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} < 1$$，解得$$|k| < \frac{\sqrt{3}}{3}$$，即倾斜角范围为$$(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6})$$。答案为$$B$$。

10. 解析：

圆$$C$$的标准方程为$$x^2 + (y-1)^2 = 4$$，圆心$$(0,1)$$。直线$$l$$与圆$$C$$的交点$$A$$和$$B$$满足方程组。设过$$A$$、$$B$$及$$(3,0)$$的圆为$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$，代入三点坐标解得$$D = -6$$，$$E = -4$$，$$F = 9$$。因此圆的方程为$$x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0$$。答案为$$A$$。

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