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正确率60.0%若直线$$y=x+m$$与曲线$$\sqrt{1-y^{2}}=x$$有两个不同的交点，则实数$${{m}}$$的取值范围为（）
A
A.$$(-\sqrt{2}， ~-1 ]$$
B.$$[-\sqrt{2}， ~ 1 ]$$
C.$$[-2， ~ 1 )$$
D.$$[-2， ~ \sqrt{2} ]$$
2、['直线和圆与其他知识的综合应用'， '直线与圆相交']正确率60.0%直线$$x+y-3=0$$截圆$$x^{2}+y^{2}=r^{2} ( r > 0 )$$所得劣弧所对的圆心角为$$\frac{\pi} {3}，$$则$${{r}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$${\sqrt {6}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知焦点为$${{F}}$$的抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上有一点$$A ( m， ~ 2 \sqrt{2} )$$，以$${{A}}$$为圆心，$${{|}{A}{F}{|}}$$为半径的圆被$${{y}}$$轴截得的弦长为$${{2}{\sqrt {7}}}$$，则$${{m}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
4、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率60.0%若$$a^{2}+b^{2}=2 c^{2} \; ( c \neq0 )$$，则直线$$a x+b y+c=0$$被圆$$x^{2}+y^{2}=1$$所截得的弦长为（）
D
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
5、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=r^{2}$$，点$$\textit{P} ( a， \ b ) \quad( \ a b \neq0 )$$是圆$${{O}}$$内一点，过点$${{P}}$$的圆$${{O}}$$的最短弦所在的直线为$${{l}_{1}}$$，直线$${{l}_{2}}$$的方程为$$b x-a y+r^{2}=0$$，那么（）
A
A.$$l_{1} / / l_{2}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
B.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
C.$$l_{1} / / l_{2}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相交
D.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相切
6、['直线与圆相交']正确率60.0%已知圆$$x^{2}+y^{2}+a x+6 y=0$$的圆心在直线$$x-y-1=0$$上，则$${{a}}$$的值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{8}}$$
7、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率60.0%已如直线$$2 x+m y-8=0$$与圆$$C_{\colon} \quad( \cdot x-m )^{\cdot} {}^{2}+y^{2}=4$$相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，且$${{△}{A}{B}{C}}$$为等腰直角形，则$${{m}{=}}$$（）
A
A.$${{2}}$$或$${{1}{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{1}{4}}$$
D.$${{1}}$$
8、['直线与圆相交']正确率60.0%若直线$$2 x-5 y+a=0$$平分圆$$x^{2} \!+\! y^{2} \!-\! 4 x \!+\! 2 y \!-\! 5 \!=\! 0$$的周长，则$${{a}{=}{（}}$$）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{-}{9}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{-}{1}}$$
9、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率60.0%直线$$\sqrt{3} x-y=0$$被圆$$( \mathbf{\} x-2 )^{\mathbf{\} 2}+y^{2}=4$$所截得的弦长等于（）
D
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
10、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']正确率60.0%直线$$l \colon~ x+y-2=0$$与圆$$O_{:} ~ x^{2}+y^{2}=4$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{O}}$$是坐标原点，则$${{∠}{A}{O}{B}}$$等于（）
D
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
B.$$\frac{\pi} {4}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {2}$$
1. 曲线 $$\sqrt{1-y^{2}}=x$$ 要求 $$x \geq 0$$，两边平方得 $$1-y^{2}=x^{2}$$，即 $$x^{2}+y^{2}=1$$（$$x \geq 0$$）。这是单位圆的右半部分（包括端点）。
直线 $$y=x+m$$ 与半圆有两个交点，需满足圆心到直线距离小于半径且直线与半圆有两个交点。圆心 $$(0,0)$$ 到直线距离 $$d=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$$，要求 $$d < 1$$ 即 $$|m| < \sqrt{2}$$。
同时，直线与半圆需实际相交两个点。代入 $$y=x+m$$ 到圆方程：$$x^{2}+(x+m)^{2}=1$$，整理得 $$2x^{2}+2mx+m^{2}-1=0$$。判别式 $$\Delta=4m^{2}-8(m^{2}-1)=8-4m^{2} > 0$$，即 $$m^{2} < 2$$。
由于 $$x \geq 0$$，需方程非负根。结合图像，当 $$m$$ 在 $$(-\sqrt{2},-1]$$ 时满足两个交点（$$m=-1$$ 时相切于端点，包含在内）。
答案：A.$$(-\sqrt{2}, ~-1 ]$$
2. 圆心 $$(0,0)$$ 到直线 $$x+y-3=0$$ 的距离 $$d=\frac{|0+0-3|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$。
劣弧所对圆心角 $$\frac{\pi}{3}$$，则弦长 $$L=2r \sin \frac{\pi}{6}=r$$。
由弦长公式：$$L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}$$，所以 $$r=2\sqrt{r^{2}-\frac{9}{2}}$$。
两边平方：$$r^{2}=4\left(r^{2}-\frac{9}{2}\right)=4r^{2}-18$$，解得 $$3r^{2}=18$$，$$r^{2}=6$$，$$r=\sqrt{6}$$。
答案：C.$${\sqrt {6}}$$
3. 点 $$A(m,2\sqrt{2})$$ 在抛物线 $$y^{2}=2px$$ 上，代入得 $$(2\sqrt{2})^{2}=2pm$$，即 $$8=2pm$$，所以 $$pm=4$$。
焦点 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，半径 $$|AF|=\sqrt{\left(m-\frac{p}{2}\right)^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$$。
圆以 $$A$$ 为圆心，$$|AF|$$ 为半径，其与 $$y$$ 轴交点满足 $$x=0$$，弦长 $$2\sqrt{7}$$。
圆心 $$A(m,2\sqrt{2})$$ 到 $$y$$ 轴距离 $$|m|$$，弦长公式：$$2\sqrt{|AF|^{2}-m^{2}}=2\sqrt{7}$$，所以 $$|AF|^{2}-m^{2}=7$$。
代入 $$|AF|^{2}=\left(m-\frac{p}{2}\right)^{2}+8$$，得 $$\left(m-\frac{p}{2}\right)^{2}+8-m^{2}=7$$，展开：$$m^{2}-pm+\frac{p^{2}}{4}+8-m^{2}=7$$，即 $$-pm+\frac{p^{2}}{4}+1=0$$。
由 $$pm=4$$，代入得 $$-4+\frac{p^{2}}{4}+1=0$$，即 $$\frac{p^{2}}{4}=3$$，$$p^{2}=12$$，$$p=2\sqrt{3}$$（$$p>0$$）。
则 $$m=\frac{4}{p}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$。
答案：D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
4. 圆 $$x^{2}+y^{2}=1$$ 圆心 $$(0,0)$$ 到直线 $$ax+by+c=0$$ 的距离 $$d=\frac{|c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$。
由 $$a^{2}+b^{2}=2c^{2}$$，所以 $$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2}|c|$$，则 $$d=\frac{|c|}{\sqrt{2}|c|}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$（$$c \neq 0$$）。
弦长 $$L=2\sqrt{1-d^{2}}=2\sqrt{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$$。
答案：D.$${\sqrt {2}}$$
5. 圆 $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$，点 $$P(a,b)$$ 在圆内，最短弦为与 $$OP$$ 垂直的弦，直线 $$l_1$$ 斜率 $$-\frac{a}{b}$$（$$b \neq 0$$）。
直线 $$l_2$$ 方程 $$bx-ay+r^{2}=0$$，斜率 $$\frac{b}{a}$$（$$a \neq 0$$）。
$$l_1$$ 与 $$l_2$$ 斜率乘积 $$\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \frac{b}{a} = -1$$，故垂直。
圆心 $$(0,0)$$ 到 $$l_2$$ 距离 $$d=\frac{|r^{2}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$。由于 $$P$$ 在圆内，$$a^{2}+b^{2} < r^{2}$$，所以 $$d > \frac{r^{2}}{r} = r$$，即 $$d > r$$，故相离。
答案：B.$${{l}_{1}{⊥}{{l}_{2}}}$$，且$${{l}_{2}}$$与圆$${{O}}$$相离
6. 圆方程 $$x^{2}+y^{2}+ax+6y=0$$，圆心 $$\left(-\frac{a}{2},-3\right)$$。
圆心在直线 $$x-y-1=0$$ 上，代入得 $$-\frac{a}{2} - (-3) -1=0$$，即 $$-\frac{a}{2}+3-1=0$$，$$-\frac{a}{2}+2=0$$，$$\frac{a}{2}=2$$，$$a=4$$。
答案：A.$${{4}}$$
7. 圆 $$(x-m)^{2}+y^{2}=4$$，圆心 $$C(m,0)$$，半径 $$2$$。
直线 $$2x+my-8=0$$，$$\triangle ABC$$ 为等腰直角三角形，且 $$AB$$ 为弦。
圆心到直线距离 $$d=\frac{|2m+0-8|}{\sqrt{4+m^{2}}}=\frac{|2m-8|}{\sqrt{4+m^{2}}}$$。
弦长 $$L=2\sqrt{4-d^{2}}$$。等腰直角三角形，顶点 $$C$$ 为直角，则 $$d=\frac{L}{2}$$。
代入：$$d=\sqrt{4-d^{2}}$$，平方得 $$d^{2}=4-d^{2}$$，$$2d^{2}=4$$，$$d^{2}=2$$，$$d=\sqrt{2}$$。
所以 $$\frac{|2m-8|}{\sqrt{4+m^{2}}}=\sqrt{2}$$，平方：$$\frac{(2m-8)^{2}}{4+m^{2}}=2$$。
即 $$(2m-8)^{2}=2(4+m^{2})$$，$$4m^{2}-32m+64=8+2m^{2}$$，$$2m^{2}-32m+56=0$$，$$m^{2}-16m+28=0$$。
解得 $$m=\frac{16 \pm \sqrt{256-112}}{2}=\frac{16 \pm \sqrt{144}}{2}=\frac{16 \pm 12}{2}$$，$$m=14$$ 或 $$m=2$$。
答案：A.$${{2}}$$或$${{1}{4}}$$
8. 圆 $$x^{2}+y^{2}-4x+2y-5=0$$，配方：$$(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=10$$。
直线平分圆周长，即过圆心 $$(2,-1)$$。
代入直线 $$2x-5y+a=0$$：$$2 \times 2 -5 \times (-1) + a=0$$，$$4+5+a=0$$，$$a=-9$$。
答案：B.$${{-}{9}}$$
9. 圆 $$(x-2)^{2}+y^{2}=4$$，圆心 $$(2,0)$$，半径 $$2$$。
直线 $$\sqrt{3}x-y=0$$，即 $$y=\sqrt{3}x$$。
圆心到直线距离 $$d=\frac{|\sqrt{3} \times 2 - 0|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$。
弦长 $$L=2\sqrt{4-3}=2 \times 1=2$$。
答案：D.$${{2}}$$
10. 圆 $$x^{2}+y^{2}=4$$，圆心 $$(0,0)$$，半径 $$2$$。
直线 $$x+y-2=0$$，圆心到直线距离 $$d=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$。
弦长 $$L=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$$。
$$\triangle AOB$$ 中，$$OA=OB=2$$，由余弦定理：$$\cos \angle AOB = \frac{2^{2}+2^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}{2 \times 2 \times 2} = \frac{4+4-8}{8}=0$$，所以 $$\angle AOB = \frac{\pi}{2}$$。
答案：D.$$\frac{\pi} {2}$$