直线与圆相交-直线与圆、圆与圆的位置关系知识点考前进阶单选题自测题解析-江西省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['直线与圆相交']

正确率40.0%若两条直线$${{l}_{1}}$$：$${{y}{=}{2}{x}{+}{m}{，}{{l}_{2}}}$$：$${{y}{=}{2}{x}{+}{n}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{x}{=}{0}}$$的四个交点能作为一个正方形的顶点，则$${{|}{m}{−}{n}{|}{=}}$$（）

A.$${{4}{\sqrt {5}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$

C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{4}}$$

2、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']

正确率60.0%圆$${{(}{x}{−}{1}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{+}{2}{{)}^{2}}{=}{8}}$$上到直线$${{x}{+}{y}{+}{3}{=}{0}}$$的距离为$${\sqrt {2}}$$的点的个数为（）

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

3、['点到直线的距离'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']

正确率60.0%直线$${{l}{：}{y}{=}{a}{x}{−}{a}{+}{1}}$$与圆：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{8}}$$的位置关系是（）

A.相交

B.相切

C.相离

D.与$${{a}}$$的大小有关

4、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆的方程的应用'， '直线与圆相交']

正确率60.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$相交于$${{P}{、}{Q}}$$两点，且$${{∠}{P}{O}{Q}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}{（}}$$其中$${{O}}$$为原点），则$${{k}}$$的值为（）

A.$${{−}{\sqrt {3}}{或}{\sqrt {3}}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}{或}{\sqrt {2}}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

5、['圆上的点到直线的最大（小）距离'， '直线与圆相交']

正确率40.0%若直线$${{k}{x}{+}{y}{=}{0}}$$被圆$${（{x}{−}{2}{）^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$所截得的弦长为$${{2}}$$，则直线$${{k}{x}{+}{y}{=}{0}}$$任意一点$${{P}}$$与$${{Q}{（}{0}{，}{2}{）}}$$的距离的最小值为（）

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {2}}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

6、['直线系方程'， '直线和圆相切'， '直线与圆相交']

正确率40.0%已知$${{θ}{∈}{R}{，}}$$由所有直线$${{L}{:}{{(}{x}{−}{2}{)}}{{c}{o}{s}}{θ}{+}{{(}{y}{−}{1}{)}}{{s}{i}{n}}{θ}{=}{1}}$$组成的集合记为$${{M}}$$，则下列叙述中的错误的是（）

A.存在一个圆与所有直线相交

B.存在一个圆与所有直线不相交

C.存在一个圆与所有直线相切

D.$${{M}}$$中的直线所能围成的正三角形面积都相等

7、['点到直线的距离'， '直线与圆相交']

正确率60.0%若直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{1}}$$与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$相交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，且$${{∠}{P}{O}{Q}{=}{{1}{2}{0}^{∘}}}$$(其中$${{O}}$$为原点$${{)}}$$，则$${{k}}$$的值为（）

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{−}{\sqrt {2}}}$$或$${\sqrt {2}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$或$${\sqrt {3}}$$

8、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知直线$${{l}}$$过点$${{(}{3}{\sqrt {3}}{，}{0}{)}}$$且不与$${{x}}$$轴垂直，圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{2}{y}{=}{0}}$$，若直线$${{l}}$$上存在一点$${{M}{，}{O}{M}}$$交圆$${{C}}$$于点$${{N}}$$，且$$\overrightarrow{O M}=\frac{3} {2} \overrightarrow{N M}，$$其中$${{O}}$$为坐标原点，则直线$${{l}}$$的斜率的最小值为（）

A.$${{−}{1}}$$

B.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{−}{\sqrt {6}}}$$

D.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

9、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']

正确率80.0%设$${{m}}$$为实数，若直线$${{y}{=}{x}{+}{m}}$$与圆$${{(}{x}{−}{2}{{)}^{2}}{+}{(}{y}{−}{3}{{)}^{2}}{=}{5}}$$相交于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，且$${{M}{N}{=}{2}{\sqrt {3}}}$$，则$${{m}{=}{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{−}{1}}$$

C.$${{3}}$$或$${{−}{1}}$$

D.$${{−}{3}}$$或$${{1}}$$

10、['直线与圆的位置关系及其判定'， '直线与圆相交']

正确率80.0%直线$${{l}}$$：$${{x}{−}{2}{y}{−}{1}{=}{0}}$$与圆$${{M}}$$：$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{x}{−}{6}{y}{+}{k}{=}{0}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{4}}$$，则实数$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {6}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${\sqrt {{1}{0}}}$$

D.$${{4}}$$

圆方程为 $$x^2 + y^2 - 4x = 0$$，化为标准形式为 $$(x-2)^2 + y^2 = 4$$，圆心为 $$(2,0)$$，半径为 $$2$$。两条直线 $$l_1: y=2x+m$$ 和 $$l_2: y=2x+n$$ 平行，斜率为 $$2$$。由于四个交点为正方形的顶点，正方形的对角线互相垂直平分，因此圆心到两条直线的距离相等且满足 $$d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。设圆心到直线的距离为 $$d$$，则 $$d = \frac{|4 + m|}{\sqrt{5}} = \frac{|4 + n|}{\sqrt{5}}$$，解得 $$|m - n| = 4$$，故选 D。

圆心为 $$(1,-2)$$，半径为 $$2\sqrt{2}$$。直线 $$x + y + 3 = 0$$ 到圆心的距离为 $$\frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$。由于 $$\sqrt{2} < 2\sqrt{2}$$，圆与直线相交，且在圆上有两个点到直线的距离为 $$\sqrt{2}$$，故选 B。

直线方程为 $$y = ax - a + 1$$，可改写为 $$a(x-1) - y + 1 = 0$$。圆心为 $$(0,0)$$，半径为 $$2\sqrt{2}$$。圆心到直线的距离为 $$\frac{|a(0-1) - 0 + 1|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{|1 - a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$$。比较距离与半径的关系，由于 $$(1 - a)^2 \leq 2(a^2 + 1)$$ 恒成立，直线与圆相交，故选 A。

直线 $$y = kx + 1$$ 与圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 相交于 $$P, Q$$ 两点，且 $$\angle POQ = 120^\circ$$。由几何关系，弦长 $$PQ = 2\sqrt{1 - d^2}$$，其中 $$d$$ 为圆心到直线的距离。由余弦定理，$$PQ = \sqrt{3}$$，故 $$2\sqrt{1 - d^2} = \sqrt{3}$$，解得 $$d = \frac{1}{2}$$。代入距离公式 $$\frac{1}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{1}{2}$$，解得 $$k = \pm \sqrt{3}$$，故选 A。

圆方程为 $$(x-2)^2 + y^2 = 4$$，圆心为 $$(2,0)$$，半径为 $$2$$。直线 $$kx + y = 0$$ 被圆截得的弦长为 $$2$$，由弦长公式 $$2\sqrt{4 - d^2} = 2$$，解得 $$d = \sqrt{3}$$。圆心到直线的距离为 $$\frac{|2k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{3}$$，解得 $$k = \pm \sqrt{3}$$。点 $$Q(0,2)$$ 到直线的距离为 $$\frac{2}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$$，故选 A。

直线集合 $$M$$ 表示所有与点 $$(2,1)$$ 距离为 $$1$$ 的直线，即这些直线均与以 $$(2,1)$$ 为圆心、半径为 $$1$$ 的圆相切。选项 A、B、C 均正确。对于选项 D，由于直线集合 $$M$$ 可以围成不同大小的正三角形（例如通过旋转角度），其面积不唯一，故 D 错误，选 D。

与第 4 题相同，直线 $$y = kx + 1$$ 与圆 $$x^2 + y^2 = 1$$ 相交于 $$P, Q$$ 两点，且 $$\angle POQ = 120^\circ$$。解得 $$k = \pm \sqrt{3}$$，故选 D。

圆方程为 $$x^2 + y^2 - 2y = 0$$，化为标准形式为 $$x^2 + (y-1)^2 = 1$$，圆心为 $$(0,1)$$，半径为 $$1$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 3\sqrt{3})$$。由向量关系 $$\overrightarrow{OM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{NM}$$，可得 $$N$$ 为 $$OM$$ 的三等分点。利用几何关系，解得斜率的最小值为 $$-\sqrt{3}$$，故选 B。

圆方程为 $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 5$$，圆心为 $$(2,3)$$，半径为 $$\sqrt{5}$$。直线 $$y = x + m$$ 与圆相交，弦长为 $$2\sqrt{3}$$，由弦长公式 $$2\sqrt{5 - d^2} = 2\sqrt{3}$$，解得 $$d = \sqrt{2}$$。圆心到直线的距离为 $$\frac{|2 - 3 + m|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$，解得 $$m = 3$$ 或 $$m = -1$$，故选 C。

10.

圆方程为 $$x^2 + y^2 - 4x - 6y + k = 0$$，化为标准形式为 $$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13 - k$$，圆心为 $$(2,3)$$，半径为 $$\sqrt{13 - k}$$。直线 $$x - 2y - 1 = 0$$ 与圆相交，弦长为 $$4$$，由弦长公式 $$2\sqrt{13 - k - d^2} = 4$$，解得 $$d = \sqrt{9 - k}$$。圆心到直线的距离为 $$\frac{|2 - 6 - 1|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$，故 $$\sqrt{5} = \sqrt{9 - k}$$，解得 $$k = 4$$，故选 D。

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