1、['两圆的公切线条数及方程的确定']正确率60.0%圆$$O_{1} \colon~ x^{2}+y^{2}-2 y=0$$和圆$$O_{2} \colon~ x^{2}+y^{2}-8 y+1 2=0$$的公切线的条数为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
2、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的公共弦']正确率80.0%过两圆$$x^{2}+y^{2}+6 x+4 y=0$$和$$x^{2}+y^{2}+4 x+2 y-4=0$$的交点的直线方程是$${{(}{)}{.}}$$
A.$$x+y+2=0$$
B.$$x+y-2=0$$
C.$$5 x+3 y-2=0$$
D.不存在
3、['两圆的公切线条数及方程的确定']正确率80.0%两圆$$( x-2 )^{2}+( y-1 )^{2}=4$$与$$( x+1 )^{2}+( y-2 )^{2}=1$$的公切线有$${{(}{)}}$$条．
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
4、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '直线和圆相切']正确率60.0%过圆$$x^{2}+y^{2}=4$$外一点$$M \left( \begin{matrix} {4，} & {-1} \\ \end{matrix} \right)$$引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）
A
A.$$4 x-y-4=0$$
B.$$4 x+y-4=0$$
C.$$4 x+y+4=0$$
D.$$4 x-y+4=0$$
5、['圆的一般方程'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%两圆$$x^{2}+y^{2}-2 m y+m^{2}-1=0$$和$$x^{2}+y^{2}-4 n x+4 n^{2}-9=0$$恰有一条公切线，若$$m \in{\bf R}， ~ n \in{\bf R}$$，且$${{m}{n}{≠}{0}}$$，则$$\frac{4} {m^{2}}+\frac{1} {n^{2}}$$的最小值为（）
A
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
6、['两点间的距离'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%圆$$\left( x+1 \right)^{2}+\left( y+2 \right)^{2}=4$$与圆$$\left( x-2 \right)^{2}+\left( y-2 \right)^{2}=9$$的公切线有$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
7、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '直线与圆的位置关系及其判定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%与圆$$C_{1} \colon x^{2}+y^{2}-6 x+4 y+1 2=0， \ C_{2} \colon x^{2}+y^{2}-1 4 x-2 y+1 4=0$$都相切的直线有$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
8、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知两圆$$x^{2}+y^{2}+4 a x+4 a^{2}-4=0$$和$$x^{2}+y^{2}-2 b y+b^{2}-1=0$$恰有三条公切线，若$$a \in{\bf R}， ~ b \in{\bf R}$$，且$${{a}{b}{≠}{0}}$$，则$$\frac{1} {a^{2}}+\frac{1} {b^{2}}$$的最小值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{1}}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
9、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率60.0%同时与圆$$x^{2}+y^{2}+6 x-7=0$$和圆$$x^{2}+y^{2}-6 y-2 7=0$$都相切的直线共有（）
B
A.$${{1}}$$条
B.$${{2}}$$条
C.$${{3}}$$条
D.$${{4}}$$条
10、['两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%若两圆$$x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{m} x+m-4=0 ( m > 0 )$$和$$x^{2}+y^{2}-4 \sqrt{n} y-1+4 n=0 ( n > 0 )$$恰有三条公切线，则$$\frac{1} {m}+\frac{1} {n}$$的最小值为$${{(}}$$$${{)}}$$
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{1} {9}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{4} {9}} \\ \end{array}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
圆 $$O_1$$ 的方程可化为 $$x^2 + (y-1)^2 = 1$$，圆心 $$(0,1)$$，半径 $$r_1 = 1$$。
圆 $$O_2$$ 的方程可化为 $$x^2 + (y-4)^2 = 4$$，圆心 $$(0,4)$$，半径 $$r_2 = 2$$。
两圆圆心距 $$d = |4-1| = 3$$。
因为 $$d = r_1 + r_2$$，两圆外切，公切线有 $$3$$ 条。故选 $$C$$。
2. 解析：
两圆方程相减得 $$(x^2 + y^2 + 6x + 4y) - (x^2 + y^2 + 4x + 2y - 4) = 0$$，即 $$2x + 2y + 4 = 0$$。
化简得 $$x + y + 2 = 0$$，即为交点直线方程。故选 $$A$$。
3. 解析：
圆 $$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 4$$ 的圆心 $$(2,1)$$，半径 $$r_1 = 2$$。
圆 $$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 1$$ 的圆心 $$(-1,2)$$，半径 $$r_2 = 1$$。
圆心距 $$d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$。
因为 $$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$$，两圆相交，公切线有 $$2$$ 条。故选 $$B$$。
4. 解析：
点 $$M(4,-1)$$ 在圆 $$x^2 + y^2 = 4$$ 外，切线方程为 $$4x - y = 4$$。
两切点的直线方程为 $$4x - y = 4$$ 的极线，即 $$4x - y = 4$$。故选 $$A$$。
5. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 - 2my + m^2 - 1 = 0$$ 可化为 $$x^2 + (y-m)^2 = 1$$，圆心 $$(0,m)$$，半径 $$r_1 = 1$$。
圆 $$x^2 + y^2 - 4nx + 4n^2 - 9 = 0$$ 可化为 $$(x-2n)^2 + y^2 = 9$$，圆心 $$(2n,0)$$，半径 $$r_2 = 3$$。
两圆恰有一条公切线，说明内切，圆心距 $$d = \sqrt{(2n)^2 + m^2} = r_2 - r_1 = 2$$。
即 $$4n^2 + m^2 = 4$$。
由柯西不等式，$$\left(\frac{4}{m^2} + \frac{1}{n^2}\right)(m^2 + 4n^2) \geq (2 + 2)^2 = 16$$。
因为 $$m^2 + 4n^2 = 4$$，所以 $$\frac{4}{m^2} + \frac{1}{n^2} \geq 4$$。故选 $$A$$。
6. 解析：
圆 $$(x+1)^2 + (y+2)^2 = 4$$ 的圆心 $$(-1,-2)$$，半径 $$r_1 = 2$$。
圆 $$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 9$$ 的圆心 $$(2,2)$$，半径 $$r_2 = 3$$。
圆心距 $$d = \sqrt{(2-(-1))^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$。
因为 $$d = r_1 + r_2$$，两圆外切，公切线有 $$3$$ 条。故选 $$C$$。
7. 解析：
圆 $$C_1$$ 的方程可化为 $$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 1$$，圆心 $$(3,-2)$$，半径 $$r_1 = 1$$。
圆 $$C_2$$ 的方程可化为 $$(x-7)^2 + (y-1)^2 = 36$$，圆心 $$(7,1)$$，半径 $$r_2 = 6$$。
圆心距 $$d = \sqrt{(7-3)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$。
因为 $$|r_2 - r_1| < d < r_1 + r_2$$，两圆相交，公切线有 $$2$$ 条。故选 $$B$$。
8. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 + 4ax + 4a^2 - 4 = 0$$ 可化为 $$(x+2a)^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(-2a,0)$$，半径 $$r_1 = 2$$。
圆 $$x^2 + y^2 - 2by + b^2 - 1 = 0$$ 可化为 $$x^2 + (y-b)^2 = 1$$，圆心 $$(0,b)$$，半径 $$r_2 = 1$$。
两圆恰有三条公切线，说明外切，圆心距 $$d = \sqrt{(2a)^2 + b^2} = r_1 + r_2 = 3$$。
即 $$4a^2 + b^2 = 9$$。
由柯西不等式，$$\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right)(4a^2 + b^2) \geq (2 + 1)^2 = 9$$。
因为 $$4a^2 + b^2 = 9$$，所以 $$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq 1$$。故选 $$B$$。
9. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 + 6x - 7 = 0$$ 可化为 $$(x+3)^2 + y^2 = 16$$，圆心 $$(-3,0)$$，半径 $$r_1 = 4$$。
圆 $$x^2 + y^2 - 6y - 27 = 0$$ 可化为 $$x^2 + (y-3)^2 = 36$$，圆心 $$(0,3)$$，半径 $$r_2 = 6$$。
圆心距 $$d = \sqrt{(0-(-3))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$$。
因为 $$|r_2 - r_1| < d < r_1 + r_2$$，两圆相交，公切线有 $$2$$ 条。故选 $$B$$。
10. 解析：
圆 $$x^2 + y^2 + 2\sqrt{m}x + m - 4 = 0$$ 可化为 $$(x+\sqrt{m})^2 + y^2 = 4$$，圆心 $$(-\sqrt{m},0)$$，半径 $$r_1 = 2$$。
圆 $$x^2 + y^2 - 4\sqrt{n}y - 1 + 4n = 0$$ 可化为 $$x^2 + (y-2\sqrt{n})^2 = 1$$，圆心 $$(0,2\sqrt{n})$$，半径 $$r_2 = 1$$。
两圆恰有三条公切线，说明外切，圆心距 $$d = \sqrt{m + 4n} = r_1 + r_2 = 3$$。
即 $$m + 4n = 9$$。
由柯西不等式，$$\left(\frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right)(m + 4n) \geq (1 + 2)^2 = 9$$。
因为 $$m + 4n = 9$$，所以 $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \geq 1$$。故选 $$C$$。
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