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正确率40.0%一电荷量为$${{q}}$$的带电粒子沿两平行金属板的中线，以初动能$${{E}_{k}}$$垂直于电场线进入两板间的匀强电场，经偏转恰好从金属板的边缘飞出，且飞出时的动能增加了$${{3}{{E}_{k}}}$$．粒子重力不计，则两板间的电压为（）
C
A.$$\frac{2 E_{k}} {q}$$
B.$$\frac{4 E_{k}} {q}$$
C.$$\frac{6 E_{k}} {q}$$
D.$$\frac{8 E_{k}} {q}$$
设两板间电压为 $$U$$，板间距离为 $$d$$，则电场强度 $$E = \frac{{U}}{{d}}$$。
粒子初动能 $$E_k = \frac{{1}}{{2}} m v_0^2$$，初速度 $$v_0$$ 沿水平方向。
垂直方向受电场力 $$F = qE$$，加速度 $$a = \frac{{qE}}{{m}} = \frac{{qU}}{{md}}$$。
设板长为 $$L$$，运动时间 $$t = \frac{{L}}{{v_0}}$$。
垂直方向位移 $$y = \frac{{1}}{{2}} a t^2 = \frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{qU}}{{md}} \cdot \left( \frac{{L}}{{v_0}} \right)^2$$。
恰好从边缘飞出，故 $$y = \frac{{d}}{{2}}$$，代入得：
$$\frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{qU}}{{md}} \cdot \frac{{L^2}}{{v_0^2}} = \frac{{d}}{{2}}$$
化简得：$$\frac{{qU L^2}}{{2m d v_0^2}} = \frac{{d}}{{2}}$$
两边乘以 2：$$\frac{{qU L^2}}{{m d v_0^2}} = d$$
整理得：$$qU L^2 = m d^2 v_0^2$$
由初动能 $$E_k = \frac{{1}}{{2}} m v_0^2$$，即 $$m v_0^2 = 2E_k$$，代入：
$$qU L^2 = d^2 \cdot 2E_k$$
得：$$U = \frac{{2E_k d^2}}{{q L^2}}$$
垂直方向末速度 $$v_y = a t = \frac{{qU}}{{md}} \cdot \frac{{L}}{{v_0}}$$
动能增量 $$\Delta E_k = \frac{{1}}{{2}} m v_y^2 = \frac{{1}}{{2}} m \left( \frac{{qU L}}{{m d v_0}} \right)^2 = \frac{{q^2 U^2 L^2}}{{2m d^2 v_0^2}}$$
代入 $$m v_0^2 = 2E_k$$：$$\Delta E_k = \frac{{q^2 U^2 L^2}}{{2 d^2 \cdot 2E_k}} = \frac{{q^2 U^2 L^2}}{{4 d^2 E_k}}$$
已知 $$\Delta E_k = 3E_k$$，故：
$$\frac{{q^2 U^2 L^2}}{{4 d^2 E_k}} = 3E_k$$
化简：$$q^2 U^2 L^2 = 12 E_k^2 d^2$$
两边开方：$$q U L = 2\sqrt{3} E_k d$$（取正）
由之前 $$U = \frac{{2E_k d^2}}{{q L^2}}$$，代入上式：
$$q L \cdot \frac{{2E_k d^2}}{{q L^2}} = 2\sqrt{3} E_k d$$
化简：$$\frac{{2E_k d^2}}{{L}} = 2\sqrt{3} E_k d$$
两边除以 $$2E_k$$（非零）：$$\frac{{d^2}}{{L}} = \sqrt{3} d$$
得：$$d = \sqrt{3} L$$
代回 $$U = \frac{{2E_k d^2}}{{q L^2}} = \frac{{2E_k \cdot 3L^2}}{{q L^2}} = \frac{{6E_k}}{{q}}$$
因此两板间电压为 $$\frac{{6E_k}}{{q}}$$，答案选 C。
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