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首先，我们需要明确题目要求的是一个高中题库解析的示例，因此我将以一道典型的高中数学题为例进行详细解析。
假设题目为：求函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$$ 的极值点。
解析步骤如下：
1. 求导：首先对函数 $$f(x)$$ 求一阶导数，得到 $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$。
2. 求临界点：令 $$f'(x) = 0$$，解方程 $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$。使用求根公式：
$$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$$
因此，临界点为 $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$$ 和 $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$$。
3. 判断极值性质：对 $$f'(x)$$ 再求导得到二阶导数 $$f''(x) = 6x - 6$$。
将临界点代入二阶导数：
- 对于 $$x_1$$，$$f''(x_1) = 6 \cdot \left(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}\right) - 6 = 2\sqrt{3} > 0$$，故 $$x_1$$ 为极小值点。
- 对于 $$x_2$$，$$f''(x_2) = 6 \cdot \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}\right) - 6 = -2\sqrt{3} < 0$$，故 $$x_2$$ 为极大值点。
4. 结论：函数 $$f(x)$$ 在 $$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$$ 处取得极小值，在 $$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$$ 处取得极大值。