振动图像与波动图像的综合应用-波的图像知识点考前进阶单选题自测题答案-甘肃省等高中物理,平均正确率42.00000000000001%

已知函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$$，求函数在区间 $$[0, 3]$$ 上的最大值和最小值。

1. 求导函数：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

2. 求驻点：

令 $$f'(x) = 0$$，即 $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$

判别式：$$D = 36 - 24 = 12$$

解得：$$x = \frac{{6 \pm \sqrt{{12}}}}{{6}} = \frac{{3 \pm \sqrt{{3}}}}{{3}}$$

3. 计算函数值：

端点值：

$$f(0) = 0$$

$$f(3) = 27 - 27 + 6 = 6$$

驻点值：

$$f\left(\frac{{3 - \sqrt{{3}}}}{{3}}\right) = \left(\frac{{3 - \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)^3 - 3\left(\frac{{3 - \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)^2 + 2\left(\frac{{3 - \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)$$

$$f\left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right) = \left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)^3 - 3\left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)^2 + 2\left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right)$$

4. 比较大小：

经计算：

$$f\left(\frac{{3 - \sqrt{{3}}}}{{3}}\right) \approx 0.385$$

$$f\left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right) \approx -0.385$$

5. 结论：

最大值：$$f(3) = 6$$

最小值：$$f\left(\frac{{3 + \sqrt{{3}}}}{{3}}\right) \approx -0.385$$