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正确率40.0%用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进的深度为$${{d}{，}}$$如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，则第二次钉子进入木板的深度是（）
B
A.$$( \sqrt{3}-1 ) d$$
B.$$( \sqrt{2}-1 ) d$$
C.$$\frac{\sqrt{5}-1} {2} d$$
D.$$\frac{\sqrt{2}} {2} d$$
4、['冲量的计算'， '变力做功的分析和计算']正确率60.0%(多选)矩形滑块由上、下两层不同材料的固体组成，将其放在光滑水平面上，质量为$${{m}}$$的子弹以速度$${{v}}$$水平射向滑块.若射中上层，子弹刚好不穿出；若射中下层，子弹刚好能嵌入，那么（）
AB
A.两次子弹对滑块做的功一样多
B.两次滑块所受的冲量一样大
C.子弹射中上层时对滑块做的功多
D.子弹射中上层时滑块所受的冲量大
设阻力与深度成正比：$$F = kx$$，其中$$k$$为比例系数，$$x$$为深度。
第一次做功：$$W_1 = \int_0^d kx dx = \frac{1}{2} k d^2$$
设第二次进入深度为$$d'$$，总深度$$d + d'$$，第二次做功：$$W_2 = \int_d^{d+d'} kx dx = \frac{1}{2} k [(d+d')^2 - d^2]$$
由$$W_1 = W_2$$得：$$\frac{1}{2} k d^2 = \frac{1}{2} k [(d+d')^2 - d^2]$$
化简：$$d^2 = (d+d')^2 - d^2$$
$$2d^2 = (d+d')^2$$
$$d+d' = \sqrt{2} d$$
$$d' = (\sqrt{2} - 1) d$$
答案：B.$$( \sqrt{2}-1 ) d$$
设滑块质量为$$M$$，子弹质量$$m$$，初速$$v$$。
射中上层（不穿出）：完全非弹性碰撞，动量守恒 $$mv = (m+M) v_1$$，得$$v_1 = \frac{m}{m+M} v$$
滑块获得动能：$$W_1 = \frac{1}{2} M v_1^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{m}{m+M} \right)^2 v^2$$
滑块受冲量：$$I_1 = M v_1 = M \cdot \frac{m}{m+M} v = \frac{mM}{m+M} v$$
射中下层（嵌入）：同理为完全非弹性碰撞，结果相同$$v_2 = \frac{m}{m+M} v$$
滑块获得动能：$$W_2 = \frac{1}{2} M v_2^2 = \frac{1}{2} M \left( \frac{m}{m+M} \right)^2 v^2 = W_1$$
滑块受冲量：$$I_2 = M v_2 = \frac{mM}{m+M} v = I_1$$
答案：A.两次子弹对滑块做的功一样多；B.两次滑块所受的冲量一样大
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