用绳关联的多体机械能守恒问题-机械能守恒定律及其条件知识点考前进阶选择题自测题解析-重庆市等高中物理,平均正确率38.0%

已知函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$$，求函数在区间 $$[0, 3]$$ 上的最大值和最小值。

1. 求导函数：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

2. 求驻点：

令 $$f'(x) = 0$$，即 $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$

判别式：$$D = 36 - 24 = 12$$

解得：$$x = \frac{{6 \pm \sqrt{{12}}}}{{6}} = \frac{{6 \pm 2\sqrt{{3}}}}{{6}} = 1 \pm \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}$$

3. 计算关键点函数值：

端点：$$f(0) = 0$$，$$f(3) = 27 - 27 + 6 = 6$$

驻点：

$$f(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = (1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^3 - 3(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^2 + 2(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})$$

$$f(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = (1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^3 - 3(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^2 + 2(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})$$

4. 比较函数值：

经计算：

$$f(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) \approx 0.385$$

$$f(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) \approx -0.385$$

$$f(0) = 0$$，$$f(3) = 6$$