用牛顿运动定律分析绳、杆等连接体问题-牛顿运动定律的综合应用知识点月考进阶单选题自测题解析-广西壮族自治区等高中物理,平均正确率46.0%

已知函数 $$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$$，求函数在区间 $$[0, 3]$$ 上的最大值和最小值。

1. 求导函数：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

2. 求驻点：

令 $$f'(x) = 0$$，即 $$3x^2 - 6x + 2 = 0$$

判别式：$$D = 36 - 24 = 12$$

解得：$$x = \frac{{6 \pm \sqrt{{12}}}}{{6}} = \frac{{6 \pm 2\sqrt{{3}}}}{{6}} = 1 \pm \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}$$

3. 计算端点及驻点函数值：

$$f(0) = 0$$

$$f(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = (1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^3 - 3(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^2 + 2(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})$$

$$f(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = (1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^3 - 3(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})^2 + 2(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}})$$

$$f(3) = 27 - 27 + 6 = 6$$

4. 比较函数值：

经计算：

$$f(1 - \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = \frac{{2\sqrt{{3}}}}{{9}}$$

$$f(1 + \frac{{\sqrt{{3}}}}{{3}}) = -\frac{{2\sqrt{{3}}}}{{9}}$$