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正确率40.0%$${{2}{0}{2}{1}}$$年$${{5}}$$月$${{1}{5}}$$日，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.已知火星的质量约为地球的$$\frac{1} {1 0}，$$半径约为地球的$$\frac{1} {2}，$$地球表面的重力加速度大小为$${{g}{，}}$$地球半径为$${{R}{，}}$$探测器环绕火星速度为$${{v}}$$.则下列选项正确的是（）
D
A.火星表面的重力加速度为$${{4}{g}}$$
B.火星和地球的第一宇宙速度之比为$${\sqrt {5}}$$∶$${{1}}$$
C.火星和地球的平均密度之比为$${{5}}$$∶$${{4}}$$
D.探测器环绕火星运行的周期为$$\frac{\pi g R^{2}} {5 v^{3}}$$
2、['天体质量和密度的计算'， '环绕天体运动参量的分析与计算'， '第一宇宙速度'， '万有引力定律的简单计算']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{6}}$$年$${{8}}$$月$${{1}{6}}$$日凌晨$${{1}}$$时$${{4}{0}}$$分，全球首颗量子卫星$${{—}{—}{“}}$$墨子号$${{”}}$$，在酒泉卫星发射中心成功发射。凭借此次发射，中国将在防黑客通讯技术方面领先于全球。已知该颗卫星最后定轨在离地面$$5 0 0 k m$$的预定圆轨道上，已知地球的半径为$$6 4 0 0 k m$$，同步卫星距地面的高度约为$$3 6 0 0 0 k m$$，已知引力常量$$G=6. 6 7 \times1 0^{-1 1} N \cdot m^{2} / k g^{2}$$，地球自转的周期$${{T}{=}{{2}{4}}{h}}$$，下列说法正确的是
B
A.$${{“}}$$墨子号$${{”}}$$卫星的发射速度可能为$$7. 8 k m / s$$
B.在相等的时间内，$${{“}}$$墨子号$${{”}}$$卫星通过的弧长约为同步卫星通过弧长的$${{2}{.}{5}}$$倍
C.由上述条件不能求出地球的质量
D.由上述条件不能求出$${{“}}$$墨子号$${{”}}$$卫星在预定轨道上运行的速度大小
3、['天体质量和密度的计算']正确率60.0%$${{2}{0}{1}{7}}$$年$${{2}}$$月，美国宇航局宣布，在一颗恒星的周围发现多达$${{7}}$$颗大小与地球接近的行星，其中$${{3}}$$颗可能存在生命。若某颗行星绕该恒星做圆周运动，并测出了轨道半径和运行周期。引力常量已知，则可推算出（）
C
A.行星的质量
B.行星的半径
C.恒星的质量
D.恒星的半径
4、['天体质量和密度的计算'， '环绕天体运动参量的分析与计算'， '第一宇宙速度'， '星球表面的抛体问题'， '万有引力和重力的关系']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{8}}$$年$${{0}{5}}$$月$${{2}{1}}$$日嫦娥四号中继卫星$${{“}}$$鹊桥$${{”}}$$在西昌卫星发射中心发射成功，$${{“}}$$鹊桥$${{”}}$$将运行在地月引力平衡点$${{L}{2}}$$点的$${{H}{a}{l}{o}}$$轨道上，承担月球背面的嫦娥四号着陆器$${、}$$巡视器与地球间的通信和数据传输任务。随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已经不是梦想。假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度$${{v}_{0}}$$竖直向上抛出一个小球，经时间$${{t}}$$后回到出发点。已知月球的半径为$${{R}}$$，万有引力常量为$${{G}}$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
B
A.月球表面的重力加速度为$$\frac{v_{0}} {t}$$
B.月球的质量为$$\frac{2 v_{0} \， R^{2}} {G t}$$
C.宇航员在月球表面获得$$\sqrt{\frac{v_{0} R} {2 t}}$$的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D.宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为$$\sqrt{\frac{R t} {v_{0}}}$$
6、['天体质量和密度的计算'， '万有引力和重力的关系']正确率40.0%某天体半径是地球半径的$${{m}}$$倍，密度是地球密度的$${{n}}$$倍，则该天体表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$${{(}{)}}$$倍．
C
A.$$\frac{m} {n^{2}}$$
B.$$\frac{m} {n}$$
C.$${{m}{n}}$$
D.$$\frac{n^{2}} {m}$$
7、['天体质量和密度的计算'， '环绕天体运动参量的分析与计算']正确率40.0%某星球可视为质量均匀分布的球体，其半径为$${{R}}$$，一卫星在距该星球表面高度为$${{2}{R}}$$的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为$${{T}}$$，万有引力常量为$${{G}}$$，下列说法中正确的是：
B
A.卫星运行的加速度大小为$$\frac{8 \pi^{2} R} {T^{2}}$$
B.该星球表面的重力加速度大小为$$\frac{1 0 8 \pi^{2} R} {T^{2}}$$
C.该星球的第一宇宙速度大小为$$\frac{2 \pi R} {T}$$
D.该星球的密度为$$\frac{8 1 \pi} {G T}$$
8、['天体质量和密度的计算'， '万有引力定律的简单计算']正确率60.0%若已知地球绕太阳公转的半径为$${{r}}$$，公转周期为$${{T}}$$，引力常量为$${{G}}$$，则由此可求出（）
C
A.地球的质量
B.地球的密度
C.太阳的质量
D.太阳的密度
9、['天体质量和密度的计算'， '万有引力和重力的关系']正确率40.0%在地球两极和赤道的重力加速度大小分别为$${{g}_{1}{、}{{g}_{2}}}$$，地球自转周期为$${{T}}$$，万有引力常量为$${{G}}$$，若把地球看作为一个质量均匀分布的圆球体，则地球的密度为
B
A.$$\frac{3 \pi\， ( g_{1}-g_{2} )} {G T^{2} g_{1}}$$
B.$$\frac{3 \pi\mathrm{g}_{1}} {G T^{2} \left( g_{1}-g_{2} \right)}$$
C.$$\frac{3 \pi g_{1}} {G T^{2} g_{2}}$$
D.$$\frac{3 \pi} {G T^{2}}$$
10、['天体质量和密度的计算'， '万有引力和重力的关系']正确率40.0%天文科学家在$$X T E J 1 6 5 0-5 0 0$$双星系统中发现最小黑洞，若黑洞的半径$${{R}}$$约$$1 8 0 k m$$，质量$${{M}}$$和半径$${{R}}$$的关系满足$${\frac{M} {R}}={\frac{c^{2}} {2 G}}. \quad($$其中$${{c}}$$为光速，$${{G}}$$为引力常量$${）}$$，则该黑洞表面重力加速度约为（）
A
A.$$2. 5 \times1 0^{1 1} m / s^{2}$$
B.$$2. 5 \times1 0^{1 2} m / s^{2}$$
C.$$4 \times1 0^{1 1} m / s^{2}$$
D.$$4 \times1 0^{1 2} m / s^{2}$$
1. 解析：
根据万有引力公式，火星表面的重力加速度 $$g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$$，地球表面的重力加速度 $$g = \frac{GM_e}{R_e^2}$$。已知 $$M_m = \frac{1}{10}M_e$$，$$R_m = \frac{1}{2}R_e$$，代入得 $$g_m = \frac{4}{10}g = 0.4g$$，故A错误。
第一宇宙速度公式为 $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$，火星和地球的第一宇宙速度之比为 $$\sqrt{\frac{M_m}{R_m}} : \sqrt{\frac{M_e}{R_e}} = \sqrt{\frac{1/10}{1/2}} : 1 = \sqrt{\frac{1}{5}} : 1$$，即 $$\sqrt{5} : 5$$，故B错误。
平均密度公式为 $$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$，火星和地球的密度之比为 $$\frac{M_m}{R_m^3} : \frac{M_e}{R_e^3} = \frac{1/10}{(1/2)^3} : 1 = \frac{4}{5} : 1$$，即 $$5 : 4$$，故C正确。
探测器环绕火星的周期 $$T = \frac{2\pi r}{v}$$，其中 $$r$$ 为轨道半径。题目未给出轨道半径，无法直接推导周期与 $$v$$ 的关系，故D错误。
正确答案：C
2. 解析：
第一宇宙速度 $$7.8 km/s$$ 是最小发射速度，但“墨子号”卫星的轨道高度为 $$500 km$$，发射速度应大于 $$7.8 km/s$$，故A错误。
根据开普勒第三定律，$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$$，其中 $$r_1 = 6400 + 500 = 6900 km$$，$$r_2 = 6400 + 36000 = 42400 km$$。周期之比为 $$\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{6900}{42400}\right)^{3/2} \approx 0.16$$。线速度 $$v = \frac{2\pi r}{T}$$，弧长 $$s = v t$$，因此在相等时间内，“墨子号”卫星的弧长约为同步卫星的 $$\frac{1}{0.16} \approx 6.25$$ 倍，但题目给出 $$2.5$$ 倍，故B错误。
已知同步卫星的周期 $$T = 24 h$$ 和轨道半径 $$r = 42400 km$$，可以通过 $$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$$ 求出地球质量，故C错误。
“墨子号”卫星的轨道半径和周期已知，可以通过 $$v = \frac{2\pi r}{T}$$ 求出速度，故D错误。
题目无正确选项。
3. 解析：
根据开普勒第三定律和万有引力公式，行星绕恒星运动的周期 $$T$$ 和轨道半径 $$r$$ 满足 $$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M}$$，其中 $$M$$ 为恒星质量。因此可以求出恒星的质量，但无法求出行星的质量、半径或恒星的半径。
正确答案：C
4. 解析：
竖直上抛运动的时间 $$t = \frac{2v_0}{g}$$，因此月球表面的重力加速度 $$g = \frac{2v_0}{t}$$，故A错误。
根据万有引力公式 $$g = \frac{GM}{R^2}$$，月球质量 $$M = \frac{g R^2}{G} = \frac{2v_0 R^2}{G t}$$，故B正确。
离开月球表面的最小速度（第一宇宙速度）为 $$v = \sqrt{gR} = \sqrt{\frac{2v_0 R}{t}}$$，故C错误。
宇航员在月球表面附近绕行的周期 $$T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{R t}{2v_0}}$$，故D错误。
正确答案：B
6. 解析：
重力加速度公式为 $$g = \frac{GM}{R^2}$$，密度 $$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$，因此 $$g = \frac{4}{3}\pi G \rho R$$。若天体的密度为地球的 $$n$$ 倍，半径为地球的 $$m$$ 倍，则重力加速度之比为 $$\frac{g'}{g} = \frac{n \cdot m}{1} = mn$$。
正确答案：C
7. 解析：
卫星的向心加速度 $$a = \frac{4\pi^2 (3R)}{T^2} = \frac{12\pi^2 R}{T^2}$$，故A错误。
根据万有引力公式 $$\frac{GMm}{(3R)^2} = m \frac{4\pi^2 (3R)}{T^2}$$，解得星球质量 $$M = \frac{108\pi^2 R^3}{G T^2}$$。表面重力加速度 $$g = \frac{GM}{R^2} = \frac{108\pi^2 R}{T^2}$$，故B正确。
第一宇宙速度 $$v = \sqrt{gR} = \sqrt{\frac{108\pi^2 R^2}{T^2}} = \frac{6\sqrt{3}\pi R}{T}$$，故C错误。
星球密度 $$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{81\pi}{G T^2}$$，故D错误。
正确答案：B
8. 解析：
根据开普勒第三定律和万有引力公式，地球绕太阳运动的周期 $$T$$ 和轨道半径 $$r$$ 满足 $$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M}$$，可以求出太阳的质量 $$M$$，但无法求出地球的质量、密度或太阳的密度。
正确答案：C
9. 解析：
地球两极的重力加速度 $$g_1 = \frac{GM}{R^2}$$，赤道的重力加速度 $$g_2 = g_1 - \omega^2 R$$，其中 $$\omega = \frac{2\pi}{T}$$。解得 $$M = \frac{g_1 R^2}{G}$$，$$R = \frac{g_1 - g_2}{\omega^2}$$。地球密度 $$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi g_1}{G T^2 (g_1 - g_2)}$$。
正确答案：B
10. 解析：
黑洞表面重力加速度 $$g = \frac{GM}{R^2}$$，已知 $$\frac{M}{R} = \frac{c^2}{2G}$$，代入得 $$g = \frac{G \cdot \frac{c^2 R}{2G}}{R^2} = \frac{c^2}{2R}$$。光速 $$c = 3 \times 10^8 m/s$$，半径 $$R = 180 km = 1.8 \times 10^5 m$$，计算得 $$g = \frac{(3 \times 10^8)^2}{2 \times 1.8 \times 10^5} = 2.5 \times 10^{11} m/s^2$$。
正确答案：A