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正确率19.999999999999996%我国发射的“悟空”探测卫星对暗物质的观测研究处于世界领先地位.宇宙空间中两颗质量均为$${{m}}$$的星球绕其连线中心转动时，发现理论计算的周期与实际观测周期不符，且$$\frac{T_{\nparallel\hat{\mathbb{K}}}} {T_{\nparallel\nparallel}}=k ( k > 1 )，$$科学家由此认为在两星球之间存在暗物质.假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，已知质量分布均匀的球体对外部质点的引力等效于质量全部集中在球心处对质点的引力，则暗物质的质量为（）
A
A.$$\frac{k^{2}-1} {4} m$$
B.$$\frac{k^{2}-2} {8} m$$
C.$$( k^{2}-1 ) m$$
D.$$( 2 k^{2}-1 ) m$$
4、['万有引力定律的简单计算'， '双星或多星系统问题'， '向心力'， '牛顿第二定律的内容及理解']正确率40.0%双星系统是由两颗恒星组成的，在两者间的万有引力相互作用下绕其连线上的某一点做匀速圆周运动．研究发现，双星系统在演化过程中，两星的某些参量会发生变化．若某双星系统中两星运动周期为$${{T}}$$，经过一段时间后，两星的总质量变为原来的$${{m}}$$倍，两星的距离变为原来的$${{n}}$$倍，则此时圆周运动的周期为（）
C
A.$$\sqrt{\frac{n^{3}} {m^{2}}} T$$
B.$$\sqrt{\frac{n^{2}} {m}} T$$
C.$$\sqrt{\frac{n^{3}} {m}} T$$
D.$$\sqrt{\frac{n} {m^{3}}} T$$
8、['双星或多星系统问题']正确率40.0%天文学家将相距较近$${、}$$仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。若某双星的质量分别为$${{M}{、}{m}}$$，间距为$${{L}}$$，双星各自围绕其连线上的某点$${{O}}$$做匀速圆周运动，其角速度分别为$$\omega_{1}， ~ \omega_{2}，$$质量为$${{M}}$$的恒星轨道半径为$${{R}}$$，已知引力常量为$${{G}}$$，则描述该双星运动的上述物理量满足（）
C
A.$${{ω}_{1}{<}{{ω}_{2}}}$$
B.$${{ω}_{1}{>}{{ω}_{2}}}$$
C.$$G M=\omega_{2}^{2} ( L-R ) L^{2}$$
D.$$G m=\omega_{1}^{2} R^{3}$$
9、['双星或多星系统问题'， '向心力'， '线速度、角速度和周期、转速'， '牛顿第二定律的简单应用']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{7}}$$年，人类第一次直接探测到来自双中子星的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约$${{1}{0}{0}{s}}$$时，它们相距约$$4 0 0 k m$$，绕二者连线上的某点每秒转动$${{1}{2}}$$圈。将两颗中子星都看做质量均匀分布的球体，且合并前两颗中子星的质量均保持不变。估算一下，当两颗中子星相距$$1 0 0 k m$$时，绕二者连线上的某点每秒转动（）
D
A.$${{6}}$$圈
B.$${{2}{4}}$$圈
C.$${{4}{8}}$$圈
D.$${{9}{6}}$$圈
10、['天体质量和密度的计算'， '双星或多星系统问题']正确率40.0%某双星由质量不等的星体$${{S}_{1}}$$和$${{S}_{2}}$$构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点$${{C}}$$做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为$${{T}{，}{{S}_{1}}}$$到$${{C}}$$点的距离为$${{r}_{1}{，}{{S}_{1}}}$$和$${{S}_{2}}$$之间的距离为$${{r}}$$，已知万有引力常量为$${{G}}$$，由此可求出$${{S}_{2}}$$的质量为（）
D
A.$$\frac{4 \pi^{2} r^{2} ( r-r_{1} )} {G T^{2}}$$
B.$$\frac{4 \pi^{2} r^{3}} {G T^{2}}$$
C.$$\frac{4 \pi^{2} r_{1}^{3}} {G T^{2}}$$
D.$$\frac{4 \pi^{2} r^{2} r_{1}} {G T^{2}}$$
3. 暗物质质量计算
设两星球间距为 $$2R$$，暗物质质量为 $$M$$。根据万有引力定律和圆周运动公式：
1. 无暗物质时：两星球的引力提供向心力，周期为 $$T_{\text{理论}}$$。
$$ \frac{G m^2}{(2R)^2} = m \left( \frac{2\pi}{T_{\text{理论}}} \right)^2 R $$
解得：$$ T_{\text{理论}} = 2\pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{2Gm}} $$
2. 有暗物质时：暗物质对星球引力为 $$ \frac{G M m}{R^2} $$，总引力为 $$ \frac{G m^2}{(2R)^2} + \frac{G M m}{R^2} $$，周期为 $$T_{\text{观测}}$$。
$$ \frac{G m^2}{4R^2} + \frac{G M m}{R^2} = m \left( \frac{2\pi}{T_{\text{观测}}} \right)^2 R $$
由题意 $$ \frac{T_{\text{观测}}}{T_{\text{理论}}} = k $$，代入化简得：
$$ M = \frac{k^2 - 1}{4} m $$
答案为 A。
4. 双星系统周期变化
双星系统的周期公式为：
$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G(M_1 + M_2)}} $$
设初始质量为 $$M$$，距离为 $$r$$，变化后质量为 $$mM$$，距离为 $$nr$$。
新周期 $$T'$$ 为：
$$ T' = 2\pi \sqrt{\frac{(nr)^3}{G(mM)}} = \sqrt{\frac{n^3}{m}} T $$
答案为 C。
8. 双星运动物理量关系
双星角速度相同（$$\omega_1 = \omega_2$$），排除 A 和 B。
由万有引力提供向心力：
$$ \frac{G M m}{L^2} = M \omega^2 R = m \omega^2 (L - R) $$
化简得：
$$ G m = \omega^2 R L^2 $$ 和 $$ G M = \omega^2 (L - R) L^2 $$
选项 C 正确，D 错误（应为 $$G m = \omega^2 R L^2$$）。
答案为 C。
9. 中子星转动频率
双星角速度与距离关系为：
$$ \omega \propto r^{-3/2} $$
初始距离 $$r_1 = 400 \text{ km}$$，频率 $$f_1 = 12 \text{ Hz}$$；新距离 $$r_2 = 100 \text{ km}$$。
频率比为：
$$ \frac{f_2}{f_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^{3/2} = 8 $$
故 $$f_2 = 96 \text{ Hz}$$。
答案为 D。
10. 双星质量计算
由万有引力提供向心力：
$$ \frac{G M_1 M_2}{r^2} = M_1 \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 r_1 $$
解得 $$S_2$$ 的质量：
$$ M_2 = \frac{4\pi^2 r^2 r_1}{G T^2} $$
答案为 D。