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正确率40.0%某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，则地球和月球的密度之比为（）
| 月球半径 | $${{R}_{0}}$$ |
| 月球表面处的重力加速度 | $${{g}_{0}}$$ |
| 地球和月球的半径之比 | $$\frac{R} {R_{0}}=4$$ |
| 地球表面和月球表面的重力加速度之比 | $$\frac{g} {g_{0}}=6$$ |
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{6}}$$
3、['天体质量和密度的计算'， '功能关系的应用'， '卫星变轨问题']正确率40.0%$${{2}{0}{1}{8}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{8}}$$日$${{2}}$$时$${{2}{3}}$$分，我国成功发射“嫦娥四号”探测器.“嫦娥四号”探测器经历地月转移、近月制动、环月飞行，最终于$${{2}{0}{1}{9}}$$年$${{1}}$$月$${{3}}$$日$${{1}{0}}$$时$${{2}{6}}$$分实现人类首次月球背面软着陆.假设“嫦娥四号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时只受到月球的万有引力，则“嫦娥四号”（）
A
A.在减速着陆过程中，其引力势能减小
B.在环月椭圆轨道上运行时，其速率不变
C.由地月转移轨道进入环月轨道，应让其加速
D.环月圆轨道的半径、运行周期和引力常量已知时，可算出月球的密度
4、['天体质量和密度的计算'， '星球表面的抛体问题']正确率60.0%在某星球表面以初速度$${{v}_{0}}$$竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，该物体由抛出到落回抛出点的时间为$${{t}}$$，已知该星球的直径为$${{D}}$$，万有引力常量为$${{G}}$$，则可推算出这个星球的质量为（）
A
A.$$\frac{v_{0} D^{2}} {2 G t}$$
B.$$\frac{v_{0} D^{2}} {8 G t}$$
C.$$\frac{v_{0} D^{2}} {4 G t}$$
D.$$\frac{2 v_{0} D^{2}} {G t}$$
5、['天体质量和密度的计算'， '环绕天体运动参量的分析与计算'， '万有引力定律的简单计算']正确率60.0%$${{2}{0}{1}{6}}$$年$${{9}}$$月$${{1}{5}}$$日，$${{“}}$$天宫二号$${{”}}$$空间实验室发射任务取得圆满成功．假设$${{“}}$$天宫二号$${{”}}$$绕地球做匀速圆周运动的轨道距地球表面的高度为$${{2}{a}}$$，绕地球飞行一圈的时间为$${{9}{0}}$$分钟，$${{“}}$$嫦娥一号$${{”}}$$卫星绕月球做匀速圆周运动的轨道距月球表面的高度为$${{a}}$$，绕月球飞行一圈的时间为$${{1}{2}{0}}$$分钟，已知地球的半径为$${{3}{2}{a}}$$，月球半径为$${{9}{a}}$$，则下列说法正确的是$${{(}{)}}$$
D
A.$${{“}}$$天宫二号$${{”}}$$运行的速度小于$${{“}}$$嫦娥一号$${{”}}$$运行的速度
B.$${{“}}$$天宫二号$${{”}}$$运行的加速度小于$${{“}}$$嫦娥一号$${{”}}$$运行的加速度
C.地球的质量小于月球的质量
D.地球的平均密度大于月球的平均密度
6、['天体质量和密度的计算']正确率40.0%组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转。如果某质量分布均匀的星球自转周期为 $${{T}}$$，万有引力常量为 $${{G}}$$，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是
B
A.$$\frac{4 \pi} {G T^{2}}$$
B.$$\frac{3 \pi} {G T^{2}}$$
C.$$\frac{2 \pi} {G T^{2}}$$
D.$$\frac{\pi} {G T^{2}}$$
8、['天体质量和密度的计算'， '第一宇宙速度'， '万有引力定律的简单计算'， '向心力'， '牛顿第二定律的简单应用']正确率40.0%暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命。为了探测暗物质，我国在$${{2}{0}{1}{5}}$$年$${{1}{2}}$$月$${{1}{7}}$$日成功发射了一颗被命名为$${{“}}$$悟空$${{”}}$$的暗物质探测卫星。已知$${{“}}$$悟空$${{”}}$$在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间$${{t}{(}{t}}$$小于其运动周期$${{)}}$$，运动的弧长为$${{s}}$$，与地球中心连线扫过的角度为$${{β}}$$弧度.，引力常量为$${{G}}$$，则下列说法正确的是
D
A.$${{“}}$$悟空$${{”}}$$的线速度大于第一宇宙速度
B.$${{“}}$$悟空$${{”}}$$的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
C.$${{‘}}$$悟空$${{”}}$$的质量为$$\frac{s^{3}} {G t^{2} \beta}$$
D.$${{“}}$$悟空$${{”}}$$的环绕周期为$$\frac{2 \pi} {\beta} t$$
10、['天体质量和密度的计算'， '人造卫星的运行规律'， '万有引力和重力的关系']正确率40.0%已知引力常量$${{G}}$$和下列各组数据， 无 法计算出地球质量的是$${{(}{)}}$$
C
A.人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
B.月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离
C.地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离
D.不考虑地球自转，地球的半径及重力加速度
1. 地球和月球密度之比计算：
密度公式：$$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$$
由万有引力公式：$$g = \frac{GM}{R^2}$$，得$$M = \frac{gR^2}{G}$$
代入密度公式：$$\rho = \frac{\frac{gR^2}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3g}{4\pi GR}$$
地球与月球密度比：$$\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{\frac{3g}{4\pi GR}}{\frac{3g_0}{4\pi GR_0}} = \frac{g}{g_0} \times \frac{R_0}{R}$$
已知$$\frac{g}{g_0} = 6$$，$$\frac{R}{R_0} = 4$$，即$$\frac{R_0}{R} = \frac{1}{4}$$
所以$$\frac{\rho}{\rho_0} = 6 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$$
答案：B
3. "嫦娥四号"探测器分析：
A. 正确：减速着陆过程中，高度降低，引力势能减小
B. 错误：在椭圆轨道上运行时，速率随位置变化
C. 错误：由地月转移轨道进入环月轨道，应减速制动
D. 错误：由$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$可得$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$$，但月球体积$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$，需要知道月球半径R才能计算密度
答案：A
4. 星球质量计算：
竖直上抛运动：上升时间$$t_0 = \frac{t}{2} = \frac{v_0}{g}$$，得$$g = \frac{2v_0}{t}$$
星球半径$$R = \frac{D}{2}$$
由$$g = \frac{GM}{R^2}$$得$$M = \frac{gR^2}{G} = \frac{\frac{2v_0}{t} \times (\frac{D}{2})^2}{G} = \frac{2v_0}{t} \times \frac{D^2}{4G} = \frac{v_0 D^2}{2Gt}$$
答案：A
5. "天宫二号"与"嫦娥一号"比较：
地球轨道：半径$$R_1 = 32a + 2a = 34a$$，周期$$T_1 = 90$$分钟
月球轨道：半径$$R_2 = 9a + a = 10a$$，周期$$T_2 = 120$$分钟
由$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$，$$a = \frac{GM}{r^2}$$可知，需要比较中心天体质量
由开普勒第三定律：$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} \times \frac{M_2}{M_1}$$
代入数据：$$\frac{90^2}{120^2} = \frac{(34a)^3}{(10a)^3} \times \frac{M_2}{M_1}$$
$$\frac{9}{16} = \frac{39304}{1000} \times \frac{M_2}{M_1}$$
$$\frac{M_2}{M_1} = \frac{9}{16} \times \frac{1000}{39304} \approx 0.0143$$，即地球质量远大于月球质量
密度比较：$$\rho = \frac{3\pi}{GT^2}$$（由最小密度公式），地球自转周期小，密度大
答案：D
6. 星球最小密度：
临界条件：赤道处万有引力刚好提供向心力
$$\frac{GMm}{R^2} = m\omega^2 R$$，其中$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$
$$M = \frac{4\pi^2 R^3}{GT^2}$$
密度$$\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{\frac{4\pi^2 R^3}{GT^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3\pi}{GT^2}$$
答案：B
8. "悟空"卫星分析：
A. 错误：第一宇宙速度是最大环绕速度，"悟空"轨道高于近地轨道，线速度小于第一宇宙速度
B. 错误：$$a = \frac{GM}{r^2}$$，"悟空"轨道低于同步卫星，向心加速度更大
C. 错误：无法通过运动参数计算探测器质量
D. 正确：角速度$$\omega = \frac{\beta}{t}$$，周期$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\beta}t$$
答案：D
10. 无法计算地球质量的情况：
A. 可以：由$$v = \frac{2\pi R}{T}$$和$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$联立可求M
B. 可以：由开普勒第三定律$$\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$$可求M
C. 不可以：计算的是太阳质量，不是地球质量
D. 可以：由$$g = \frac{GM}{R^2}$$得$$M = \frac{gR^2}{G}$$
答案：C