.jpg)
首先分析题目要求：这是一道关于函数单调性的问题，需要证明函数 $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$ 在区间 $$[1, +\infty)$$ 上的单调性。
步骤1：理解函数定义
函数定义为 $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$，定义域为全体实数，因为分母 $$x^2 + 1 \geq 1 \neq 0$$。
步骤2：求导分析单调性
为了判断函数的单调性，我们计算它的导数：
$$f'(x) = \frac{(1)(x^2 + 1) - x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$
步骤3：分析导数的符号
由于分母 $$(x^2 + 1)^2 > 0$$ 恒成立，导数的符号由分子 $$1 - x^2$$ 决定：
- 当 $$x \in [1, +\infty)$$ 时，$$x^2 \geq 1$$，因此 $$1 - x^2 \leq 0$$。
这表明 $$f'(x) \leq 0$$，即函数 $$f(x)$$ 在区间 $$[1, +\infty)$$ 上单调递减。
结论
综上所述，函数 $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$ 在区间 $$[1, +\infty)$$ 上是单调递减的。