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首先，我们需要明确题目要求：解析过程需使用 HTML 的 <p> 和 <div> 标签，数学公式用 $$...$$ 包裹，并分步骤推导。
步骤 1：理解题目结构
题目给出了一个函数 $$f(x) = x^2 + 2x + 1$$，要求求其在区间 $$[0, 3]$$ 上的最大值和最小值。
步骤 2：分析函数的性质
函数 $$f(x) = x^2 + 2x + 1$$ 是一个二次函数，可以改写为 $$f(x) = (x + 1)^2$$。这表明函数的图像是一条开口向上的抛物线，顶点在 $$x = -1$$ 处。
步骤 3：确定区间内的极值
由于顶点 $$x = -1$$ 不在区间 $$[0, 3]$$ 内，因此函数在该区间内的极值只能出现在端点 $$x = 0$$ 或 $$x = 3$$ 处。
步骤 4：计算端点值
计算 $$f(0)$$：
$$f(0) = 0^2 + 2 \times 0 + 1 = 1$$
计算 $$f(3)$$：
$$f(3) = 3^2 + 2 \times 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16$$
步骤 5：结论
由于函数在区间 $$[0, 3]$$ 内单调递增，因此：
- 最小值为 $$f(0) = 1$$，
- 最大值为 $$f(3) = 16$$。