格物学高中知识点

集合A=﹛x|x2-(a+3)x+3a=0﹜,B=﹛x|x2-5x+4=0﹜,集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合

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2024-02-26
高中知识点
A﹛0﹜ B﹛0,3﹜ C﹛1,3,4,﹜D﹛0,1,3,4,﹜


高考一轮复习教案(集合) 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练.考试形式多以一道选择题为主,分值5分. 高考将继续体现本章多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立.具体题型估计的基本概念、运算和工具作用. 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在 (1)集合中的对象称元素b不是集合A的元素,记作 ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内. 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题一般集合中元素较多举法. (4)常用 非负整数集(或自然数集),记 正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R. 2.集合的 (1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是BA),记作A B(或 ); 集合相等:构成两个集合的元素完全一样.等于B,记作A=B;若A B且A的真子集,记作A B; (2)简单性质:1)A A;2) A;3)若A B,B C,则A C;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集); 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U; (2)若S是一个集合,A S,则, = 称S中子集A的补集; (3)简单性质:1) ( )=A;2) S= , =S. 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集.交集 . (2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集. . 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 5.集合的简单性质: (1) (2) (3) (4) ; (5) (A∩B)=( A)∪( B), (A∪B)=( A)∩( B). 四.典例解析 题型1:集合的概念 例1.设集合 ,若 , 由于 中 只能取到所有的奇数,而 中18为偶数.则 . 例2.设集合P={m|-1<m≤0 ,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立 ,则下列关系中成立的是P Q Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立=,对m分类: ①m=0时,-4<0恒成立; ②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0. 综合①②知m≤0, ∴Q={m∈R|m≤0}. 点评:该题考察了集合间的关系,同时考察了分类讨论的思想.集合 中含有参数m,需要对参数进行分类讨论,不能忽略m=0的情况. 题型2:集合的性质 例3.(2000广东,1)已知集合A={1,2,3,4},那么A的真子集的个数是( ) 点评:该题考察集合子集个数公式.注意求真子集时千万不要忘记空集 是任何非空集合的真子集.同时,A不是A的真子集. 变式题:同时满足条件:① ②若 ,这样的集合M有多少个,举出这些集合来. 答案:这样的集合M有8个. 例4.已知全集 ,A={1, }如果 ,则这样的实数 是否存在?若存在,求出 ,若不存在,说明理由. ∵ ; ∴ ,即 =0,解得 当 时, ,为A中元素; 当 时, 当 时, ∴这样的实数x存在,是 或 . 另法:∵ ∴ , ∴ =0且 ∴ 或 . 点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质.分类讨论的过程中“当 时, ”不能满足集合中元素的互异性.此题的关键是理解符号 是两层含义: . 变式题:已知集合 , , ,求 由 可知, (1) ,或(2) 解(1)得 , 解(2)得 , 又因为当 时, 与题意不符,所以, . 题型3:集合的运算 例6.(06安徽理,1)设集合 , ,则 等于( ) , ,所以 . 题型4:图解法解集合问题 例7.(2003上海春,5)已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且A B,则实数a 图 的取值范围是____ _. ∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又A B,利用数轴上覆盖关系:如图所示,因此有a≤-2. 例8.(1996全国理,1)已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N},则I=A∪( B ) 方法一: A中元素是非2的倍数的自然数, B中元素是非4的倍数的自然数,显然,只有C选项正确. 图 方法二:因A={2,4,6,8…},B={4,8,12,16,…},所以 B={1,2,3,5,6,7,9…},所以I=A∪ B,故答案为C. 方法三:因B A,所以( )A ( )B,( )A∩( B)= A,故I=A∪( A)=A∪( B). 方法四:根据题意,我们画出Venn图来解,易知B A,如图:可以清楚看到I=A∪( B)是成立的. 点评:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集考查,提高了对逻辑思维能力的要求. 题型5:集合的应用 例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 赞成A的人数为50× =30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B. 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x.依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8 点评:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来.本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索.画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. 例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数,又不是3的倍数,也不是5的倍数的自然数共有多少个? 如图先画出Venn图,不难看出不符合条件 的数共有(200÷2)+(200÷3)+(200÷5) -(200÷10)-(200÷6)-(200÷15) +(200÷30)=146 所以,符合条件的数共有200-146=54(个) 点评:分析200个数分为两类,即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单,可考虑用扣除法. 题型7:集合综合题 例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|<2},B={x| <1},若A B,求实数a范围. 由|x-a|<2,得a-2由 <1,得 <0,即-2因为A B,所以 ,于是0≤a≤1. 点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法. 例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}. 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素;(3)当a1≠0时,一定有A∩B≠ . (1)正确;在等差数列{an}中,Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上. (2)正确;设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解,由方程组消去y得:2a1x+a12=-4(*), 当a1=0时,方程(*)无解,此时A∩B= ; 当a1≠0时,方程(*)只有一个解x= ,此时,方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解. ∴A∩B至多有一个元素. (3)不正确;取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于a1=1≠0 如果A∩B≠ ,那么据(2)的结论,A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= <0,y0= <0,这样的(x0,y0) A,产生矛盾,故a1=1,d=1时A∩B= ,所以a1≠0时,一定有A∩B≠ 是不正确的. 点评:该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题. 变式题:解答下述问题: (Ⅰ)设集合 , ,求实数m的取值范围. 分析:关键是准确理解 的具体意义,首先要从数学意义上解释 的意义,然后才能提出解决问题的具体方法. 的取值范围是 UM={m|m<-2}. (解法三)设 这是开口向上的抛物线, ,则二次函数性质知命题又等价于 注意,在解法三中,f(x)的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单. (Ⅱ)已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4}, 、B. 分析:命题中的集合是列举法给出的,只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决,注意“正整数”这个条件的运用, (Ⅲ) 分析:正确理解 要使 , 由 当k=0时,方程有解 ,不合题意; 当 ① 又由 由 ②, 由①、②得 ∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1 点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法. 五.思维总结 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题. 1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如 、 、 、 、=、 A、∪,∩等等; 2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解); 3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法. ① 区别∈与 、 与 、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② A B时,A有两种情况:A=φ与A≠φ. ③若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为 ,所有真子集的个数是 -1, 所有非空真子集的个数是 . ④区分集合中元素的形式: 如 ; ; ; ; ; ; . ⑤空集是指不含任何元素的集合. 、 和 的区别;0与三者间的关系.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况. ⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系 ;符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系. 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力.内容来自网友回答

集合A=﹛x|x2-(a+3)x+3a=0﹜,B=﹛x|x2-5x+4=0﹜,集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合

A﹛0﹜ B﹛0,3﹜ C﹛1,3,4,﹜D﹛0,1,3,4,﹜

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