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柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。
[编辑本段]【柯西不等式的证法】
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai*bi)^2.
我们令f(x)=∑(ai+x*bi)^2=(∑bi^2)*x^2+2*(∑ai*bi)*x+(∑ai^2)
则我们知道恒有f(x)≥0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ=4*(∑ai*bi)^2-4*(∑ai^2)*(∑bi^2)≤0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较 [编辑本段]【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的根据，我们
■巧拆常数：
例：设a、b、c为正数且各不相等。
求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+
分析：∵a、b、c均为正数
∴为a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)
又a、b、c各不相等，故不能成立
∴原不等式成立。
像这样的还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献． [编辑本段]【柯西简介】
柯西1789年生于巴黎，他的父是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔
他在纯数学和的功力是相当深厚的，很多数学的定理和也都以来称呼，如柯西不等式、...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质量都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方。
柯西在、、以及、、诸方面都有出色的工作。
特别是，他弄清了弹性理论的基本，为弹性力学奠定了严格的理论基础。
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基本不等式及其应用
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