格物学 高中知识点

邻域什么意思，请通俗易懂的说明？

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2024-05-04
邻域什么意思，请通俗易懂的说明？
邻域公理给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。
U2：若集合A，B∈U(x)，则A∩B∈U(x)。
U3：若集合A∈U(x)，且A ?B ?X，则B∈U(x)。
U4：若集合A∈U(x)，则存在集合B∈U(x)，使B ?A，且y∈B，B∈U(y)。
对邻域公理的解释：邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。
这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。
映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。
U1的解释：若A是x的邻域，则x属于A。
这是显然的。
U2的解释：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。
即邻域对于有限交运算封闭。
U3的解释：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。
U4的解释：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。
换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。
更关键的，这样的邻域当且仅当它是X中的开集，这也是邻域公理为何等价于开集公理，从而可以通过它定义X上拓扑的原因。
开邻域和闭邻域若x的邻域同时是X中的开集，称其为x的开邻域；若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。
重要结论拓扑空间X，X的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。
（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。
拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核，当且仅当A° = {x | U∈U(x)，U咥}。
拓扑空间X，X的子集A和A’，A‘是A的闭包，当且仅当A’ = {x | U∈U(x)，U∩A ≠ }。
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