点是没有什么的,我们常用什么来表示点,如右图中的点记为“点A”？-格物学-2024大学专业介绍-高考倒计时-高考志愿填报

初涉组合数学前言: “所有的组合数问题都是好题”—清华某高材生zhx 涉及组合数学的问题在近几年的NOIP初赛中多次露面，感觉有必要好好学一学本文根据百度百科，知乎等资料整理一.集合集合（set）指具有某种特定性质的事物的总体，集合里的事物，叫作元素。
在现代，集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
例如全洛谷人民的集合，她的元素就是每一个谷民。
我们通常用大写字母如A,B，S等表示集合，而用小写字母如a,b,x等表示集合的元素。
特别地，自然数集记为N,正整数集记为N* ，整数集记为Z，有理数集记为Q，实数集记为R。
若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。
若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S。
集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。
我们将含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。
集合的表示有两种方法:列举法（将集合的元素一一列举出来，并置于大括号‘{}’内，如{noip，kkk，zcysky}），描述法（常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。
{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性））以及v 我们把不含任何元素的集合称之为空集，记为∅。
（空集是任何集合的子集）如果集合A的任意一个元素都是∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”。
如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊊B。
(符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且x∈B使x∉A，交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}，如右图所示。
注意交集越交B，A∪B=A。
并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}，如右图所示。
注意并集越并越多，这与交集的情况正相反。
补集又可分为相对补集和绝对补集。
相对补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}。
绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A&apos。
如果两个集合S和T的元素完全相同，则称S与T两个集合相等，记为S=T 。
运算定律：交换律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 对偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C 同一律：A∪∅=A；A∩U=A 求补律：A∪A'=U；A∩A'=∅ 对合律：A''=A 等幂律：A∪A=A；A∩A=A 零一律：A∪U=U；A∩∅=∅ 吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A 二.阶乘 n的阶乘表示为：n！
。
n!
=1×2×3×...×n。
阶乘亦可以递归方式定义：0!
=1，n!
=(n-1)!
×n。
三.组合数学概述组合数学又称为离散数学，是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
组合数学主要研究满足一定条件的组态的存在、计数以及构造等方面的问题。
组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等。
四.基础计数原理加法原理：假设你想要到达一个地方，有n条路可以选择，在第一条路中又有m1条分支可到达终点，第二条路有m2条分支......，在第n条路中有mn个分支。
那么你想要到达终点有多少选择呢？显而易见，一共有m1+m2+m3+......+mn种可选择的路线。
这就是加法原理。
请注意: 每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；每种情况内任两种方式都不同时存在；不同情况之间没有相同方式存在。
乘法原理：假设你完成一份工作，完成它要有n个步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法......，完成第n步有mn种不同的方法。
那么你一共有多少完成这份工作的方法呢？显然，完成这份工作一共有m1 m2 m3...... * mn种不同的方法。
这就是乘法原理。
请注意：步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式。
总结：加法原理是完成这件事的分类计数方法，每一类都可以独立完成这件事；乘法原理是完成这件事的分步计数方法，每个步骤都不能独立完成这件事。
完成一件事的分“类”“步”是有区别的，大家需要谨慎判断。
两个技术技巧： 1.算两次：在对一个集合进行计数的时候，我们通常可以通过不止一种途径得到答案，那么用不同方法算出来的结果一定是相同的。
一般来说算两次可以验证答案的正确性，如果时间充裕甚至可以将各个方法都算一遍。
2.补集转化：在计算一个集合A中元素的个数的时候会发现直接求解会很难，而利用全集C和A在C中的补集中的元素的个数迂回求解，一般可以达到更好的效果。
这种求解方法多用于集合本身元素个数不好分析但是全集和补集都很容易求解的情况五.排列排列：指从n个不同的元素中不重复的元素中不重复地取出m（m<=n）个元素，按顺序排成一列的方案数。
由乘法原理显然可知公式为 n （n-1） ......(n-m+1),即n！
/（n-m）！
，也可读为n的m阶下降幂。
可重复排列：指从n个不同的元素中取出m个元素排成一列，这m个元素可以有重复的方案数。
显然由乘法原理可知公式为 n^m。
圆排列：从n个不同的元素中不重复地取出m（1<=m<=n）个元素排列在圆周上。
如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相同。
可以发现每一种圆排列方式都恰好对应m种排列方式，且不同的圆排列方式不会有交，并且每一种排列方式都可以找到相对应的圆排列，可知公式为：排列方案除以m的值。
容斥原理：容斥原理基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
公式：两个集合的容斥原理 n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B) 三个集合的容斥原理 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C| n个集合的容斥原理要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
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子集与交集、并集运算的转换