什麼是实数系统;集合的概念及集合的运算,交集、并集、补集和?差集。伟恩?(Venn)?图。数学归纳-格物学-2024大学专业介绍-高考倒计时-高考志愿填报

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
分数可以分为正分数和负分数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。
而R^n 表示 n 维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实分析的核心研究对象。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。
如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。
在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。
按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。
这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。
如①｛北京、天津、上海｝，②｛A,B,C,…,Z｝，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。
但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。
这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质 P(x)来加以概括。
如例 ④中的集合可表示为｛x｜x 是自然数｝。
这种表示也适用于有穷集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x =上海｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。
一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母∈集合来记它。
如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B嶅A 。
例如，偶数全体嶅自然数全体。
空集集合被看作是任何集合A都是它自己的子集,即A称为 A的真子集,记为B嶅集合 A 。
两集合的相等（即含达:A=B当且仅当 A嶅B且B嶅A 。
包含关系还具备传递性：即由 A嶅B,B嶅C可得A嶅C。
要注意的是,属于关系∈与包含关系嶅是有区别的：∈是元素对集合的关系的关系。
可以有集合集合，但集合集合不成立。
从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。
以属于A或属于与B的并(集)，记为A∪B（A与B中的相同元素在并集中出现一次）。
以属称为A与B的交(集)，记为A∩B。
以属于A而不属于B 的元素为元素的集合称为A与B的差（集,当B嶅A时,可记为CAB，称为B关于A的补（集）。
例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，则A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},A\B={1}。
并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，即对任意的A，B，C，有 A∪B=A∪(B∪C)， A∩A∩(B∩C)， A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)， A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
它们与差运算一起服从德·摩根定律： S\(A∪B)=(S\A)∩(S\B)， S\(A∩B)=(S\A)∪(S\B)。
这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有集合 , 集合。
一个集合也可以以其他集合为元素。
这就是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。
一个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。
例如,当A=｛1,2,3｝时，P(A)={集合 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
集合的集合是所谓集合族的特殊情形。
一般而论,如果对于某一集合I(≠集合 )的每一个元素I∈I，都指定有一个确定的集合Ai，那么，这些Ai的全体就称为一个集合族,记为{Ai,i∈I}。
例如,当I=N即自然数全体时,{Ai,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。
集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。
对于集合族{Ai,I∈I},可定义它的并为｛x｜对某I∈I,x∈Ai｝，记为集合。
仿此,可定义它的交为｛x｜对一切I∈I，x∈Ai｝,记为集合。
特别当I=｛1,2,…,n｝时，通常将并写成集合 ,将交写成集合；当n=2时，就是上面的A1∪A2和A1∩A2。
当I=N时，通常将并写成集合，将交写成集合。
两个对象α，b按一定次序（譬如α在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为<α,b>，α称为它的第一坐标,b称为第二坐标。
两个序对<α,b>，<α′,b′>当且仅当 α= α′,b=b′即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。
因此,除非α=b,<α,b>≠。
也可直接定义<α,b>为｛｛α｝,｛α,b｝｝,虽不大自然,却很精确。
同样可定义一般的有序n组。
设A，B为两个集合，从A，B中各取一个元素α，b所作序对<α,b>的全体组成一个集合,即｛<α,b>｜α∈A且b∈B｝,它称为A与B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为A×B。
直积概念也可从两个因子推广到n个因子，A1×A2×…×An，记为集合，特别当各Ai均等于A时，称为A的n次直幂,记为A，它相当于所有从｛0,1,…,n-1｝到A的映射全体组成的集。
推而广之，所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A None _{内容来自网友回答}

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