你是用2x代替前面不等式中的x得到后面的式子的,两个式子里面的x不是一码事。
xy≤(2x+y)^2/8,8xy≤4x^2+4xy+y^2,0≤4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2,完全正确; 同样xy≤(x+y)^2/4,4xy≤x^2+2xy+y^2,0≤(x-y)^2,完全正确,没有问题。
这两个式子,貌似矛盾,我们用它们来解决实际问题,是一致的。
其实,这两个式子,应用的时候,分别隐含了一个条件:x+y=定值,以及2x+y=定值。
设x+y=a,y=(a-x),xy=x(a-x)=ax-x^2,(xy)'=a-2x=0时有极大值,x=a/2,xy最大=a^2/4; 此时(x+y)^2/4=a^2/4,正确; 设2x+y=b,y=(b-2x): xy=x(b-2x)=bx-2x^2,(xy)'=b-4x=0,x=b/4,y=b/2,xy最大=b^2/8 此时(2x+y)^2/8=(2b/4+b/2)^2/8=b^2/8,也是成立的。
另外,你如果假设2x=y,则x+y=3x=a,x=a/3,y=2a/3,xy=2a^2/9;
(2x+y)^2/8=(2a/3+2a/3)^2/8=16a^2/9/8=2a^2/9,确实一致!
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如果假定x=y,2x+y=3y=b,y=b/3,x=b/3,xy=b^2/9;而(x+y)^2/4=(b/3+b/3)^2/4=4b^2/9/4=b^2/9 这两个式子都得出了正确结果!
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关键是取得最大值的隐含条件不同了。
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基本不等式及其应用