高中数学不等式证明的八种方法-格物学-2024大学专业介绍-高考倒计时-高考志愿填报

不等式的证明 1、比较法作差作商后的式子变形,判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0. 作商比较法---已知a,b都是正数,要证明a>b,只要证明a/b>1 例：求证：x²+3>2 证明： ∵x²+3-2=x²+1>0 ∴x²+3>2 2、综合法了解算术平均数和几何平均数的概念,能用平均不等式证明其它一些不等式定理1如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号) 证明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0 当且仅当a=b时取等号.所以 a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号). 定理2如果a,b,cR+,那么a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a=b=c时取"="号) 证明:∵a3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b+c)(a2+b2+c2- =(a+b+c)[(a-b)+(a-c)2]≥0 ∴a3+b3+c3≥3abc, 很明显,当且仅当a=b=c时取等号. 例1已知a,b a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+ 3、这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a的"b≤c就行了. 例,证明当k是大于1的时,, 我们可以用放缩法的一支",证明如下: 4、分析法从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一"充步往前追溯(执果索因),一直追溯到已知条件或一些真命题为止.例如a2+b2≥2ab我们通过分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"条件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的证明过程表现为一连串的"要证……,只要证……",最后推至已知条件例求证: 证明: 构造图形证例:已知a,b,c都是正数,求证: +> 分析与证明:观察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的,联想到:c2=a2+b2-2abCosC,为了得到a2+只要C=120°, 这样:可以看成a,120°的的三角形的第三边可以看成b,c为邻边,夹角为120°的的三角形的第三边可以看成的三角形的第三边构造图形如下, AB=, BC=, AC= 显然AB+BC>AC,故原不等式成立. 5、数形结合是指通过数与形之间的对应转化来.数量关系如果以使许多抽象概念和直观而形象,有利于解题途而有些涉及图形的问题如能转化为数量关系的研而一般化的,即所谓的以数.数形结合的思想,其是将抽象的数,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识,的转化,可以培养的灵活性,.通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化. 例.证明,当x>5时,≤ 解:令y1=,y2=x-2,从而原不等式的解集就是使y1>y2的x的.在同一中分别作出两个函数的.设它们的是x0,则=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根据图形,很显然成立. 6、先假定要证不等式的反面成立,然后推出与已知条件(或已知真命题)和矛盾的,从而断定反证假定,因而要证不等式成立. 7、对要证不等式按已知条件分成各种情况,加以证明(防止重复或遗漏某一可能情况). 8、常用的换元有的换元，换元等 _{内容来自网友回答}

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