格物学 高中知识点

群同构的充分必要条件

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2024-05-05
群同构的充分必要条件

群同构的充分必要条件：有相同的初等因子组。
设E与F为两个群胚，两个幺半群，两个群，两个环，两个向量空间，两个代数或两个酉代数。
称从E到F中的映射f是同构，如果f有逆映射，并且f与f-1是两个同态。
设E与F为两个有序集。
称从E到F中的映射f是同构，如果它存在逆映射，并且f与f-1都是递增的。
即是说，对E的任一元素偶(x，y)，关系x≤y与f(x)≤f(y)等价。
在E与F皆为全序集的情况下，可以证明任一双同态是同构。
例如， 指数函数x↦ex是从实数加法群R到严格正实数乘法群R*+上的同构。
逆同构是对数函数x↦lnx。
二者都是递增的，这两个双射也是有序集的同构。
自同构群： 设S是给定的空间，U是S上的一个图形，若S到自身的一个变换g把U变到U自身，则称g是关于U的自同构变换，简称关于U的自同构。
S上关于U的自同构变换的全体构成一个变换群，称它为关于U的自同构群。
在变换中保持不变的这个图形U称为绝对形。
例如，在射影平面上取一条直线作无穷远直线，则在射影平面上保持无穷远直线不变的自同构射影变换构成一个变换群，它是关于无穷远直线的自同构群，同时它也是二维射影变换群的子群。
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