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“断定”就是肯定或否定，不模棱两可。
例如，“是无理数”，“△ABC不是直角三角形”，这种判断是判断某一属性是否属于这个或那个事物；又如，“三角形三内角之和等于180°”，这种判断是判断各个思维对象间的关系；再如，“直线c经过直线a与b的交点p”，这种判断是判断各思维对象间的制约关系。
任何判断都应具有两个基本特征：一是一定“要有所断定”。
不能作出肯定或否定的思维形式，不能称其为判断。
例如，“△ABC是直角三角形吗？”就不是判断。
二是有真假之分。
如果一个判断符合客观实际，它就是真实的，否则就是虚假的。
例如，“三角形三内角之和大于180°”就是一个假判断。
判断一般采用“主词——系词——宾词”的结构。
主词（S）是思维的对象，即需要作出判断的事物或现象，宾词（P）是用来表达对象具有或不具有某种属性，系词是用来联接主词和宾词的，通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定。
判断按其性质来分有肯定判断和否定判断，按判断中的主词外延是宾词外延的全部或是部分来分，有全称判断和特称判断，如果将两种分类结合起来就可以形成下面四种判断： (1)全称肯定判断，记作A。
其逻辑形式是“所有S都是P”，简记为SAP。
(2)全称否定判断，记作E。
其逻辑形式是“所有S都不是P”，简记为SEP。
(3)特称肯定判断，记作I。
其逻辑形式是“有些S是P”，简记为SIP。
(4)特称否定判断，记作O。
其逻辑形式是“有些S不是P”，简记为SOP。
2.命题及其 表示判断的陈述称为命题，数学中表示判断的陈述语句称为数学命常用的连接词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等等。
判断有真假之分，命题结构上可分为与两种类型。
数学中把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题学体系中，一般要求公理具有无、独立性和完备性，但在中学数学教材体系中，考虑到学生接受外的真命题也作为公理，即不一定严格要求公理体系的独立性。
数学中，根据已知概念和已知的命题，遵照逻辑规律运用已证明真实性的命题称为。
命题的运算就是通过命题的符号化、形式化，由若干个命题，构建新的命题。
的关键是的运用。
因此，命题运算实际上是命题的逻辑联结。
命题的基本运算有：否定、合取、析取、蕴涵、等。
对于命题p、q、r，如果p是一个真命题，则记为p=1；如果q是一个，则记为q=1。
(1)否定（非“「”）。
命题p与联表3-1
结词“「”构成复合命题“「p”。
「pP「p 称为p的否定式，也称为，其10 真值表为表3-1。
这里表明，若命题01 p为真，则「p为假；若命题p为假，则「p为真。
（2）合取（与、且“∧”）。
两个命题p、q用“∧”联结起来，构成复合命题“p∧q”。
p∧q称为p、q的合取式，p、q称为合取项。
命题p∧q又称为，其真值表为表3-2。
这里表明，若p、q都真，则p∧q为真；若p、q中至少有一个为假，则p∧q为假。
表3-2表3-3 pqp∧qpqp∨q 111111 100101 000011 000000 （3）析取（或“∨”）。
两个命题p、q用“∨”联结起来，构成复合命题“p∨q”。
p∨q称为p、q的析取式，p、q称为析取项。
命题p∨q又称为，其真值表为表3-3。
这里表明，若p、q中至少一个为真，则p∨q为真；只有p、q都假，才有p∨q为假。
（4）蕴涵（如果（若）…那么（则）…“→”）。
给定两个命题p、q用“→”联结起来，构成复合命题“p→q”。
p→q称为p、q的蕴涵式，p称为条件（或前件），q称为结论（或后件）。
命题p→q又称为，其真值表为表3-4。
这里表明，除去p真q假，则p→q为假外，其余情况p→q都真。
表3-4表3-5 pqp→qpqpq 111111 100100 011`010 001001 （5）当且仅当（“”）。
给定两个命题p、q用“”联结起来，构成复合命题“pq”。
pq称为p、q的等价式。
命题pq又称为充要条件假言命题，其真值表为表3-5。
这里表明，若p、q同真或同假时，pq为真，其余皆假。
运用以上介绍的五种逻辑联词以及否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等价式的真值表，还可以进行命题的多种复合运算，并确定运算结果所得命题的真值表。
在命题的演算过程中，还要遵循一系列的运算律，这些请读者参阅有关逻辑学文献。
二.命题的四种基本形式及其关系
数学命题的四种基本形式如下： 原命题p→q；逆命题q→p；
否命题「p→「q；逆否命题「q→「p。
它们之间的关系可用图解表示如下图： 原命题互逆逆命题 p→qq→p 互互 互为逆否 否否 否命题逆否命题 「p→「q互逆「q→「p 图3-8 以上四种命题的真假，有一定的逻辑联系。
互为逆否的两个命题是逻辑等价的，可通过真值表或命题运算律加以验证。
例如 表3-6 pqp→q「q「p「q→「p 111001 100100 011011 001111 可见，p→q与「q→「p等价，即p→q与「q→「p同真同假。
为了加深对上面的真值表的理解，我们来看下面三组例子： 例1.（1）若三角形中有两边相等，则其对角相等。
（真） （2）若三角形中有两角相等，则其对边也相等。
（真） （3）若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。
（真） （4）若三角形中有两角不等，则其对边也不相等。
（真） 例2.（1）若两角为，则此二角相等。
（真） （2）若两角相等，则此二角为对顶角。
（假） （3）若两角不是对顶角，则此二角不相等。
（假） （4）若两角不相等，则此二角不是对顶角。
（真） 例3.（1）若四边形的四边相等，则为正方形。
（假） （2）若四边形为正方形，则四边相等。
（真） （3）若四边形四边不等，则不是正方形。
（真） （4）若四边形不是正方形，则四边不等。
（假） 从以上三例可以看出： 1.原命题真，它的逆命题和否命题未必真；原命题假，它的逆命题和否命题未必假。
因此，一个定理的逆命题和否命题，必须通过逻辑证明才能判定其是否成立。
若成立，则分别称为和否定理。
2.互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假。
由此可以得出，要证明一个命题为真，如果直接证明有困难或太繁时，可以转而证其逆否命题为真。
三.命题的制作 因为互为逆否的两个等价，所以实质不同的命题，只有原命题与逆命题两种。
一个真命题的逆命题，只有经过论证后才知其真假。
如果一个定理的逆命题为真，就得到原定理的逆定理。
为了研究一个定理的逆定理，就要研究逆命题的制作方法。
1.当命题的条件和结论都是一个简单命题时，只要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命题。
例如，命题“对顶角相等”，它的逆命题是“相等的角是对顶角”，这个逆命题显然是不正确的。
2.当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可以得到多个逆命题。
例如，原定理“圆内垂直平分弦的直线必过圆心且平分该弦所对的弧”，不难得到它的五个逆定理： 圆内过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该弦所对的弧； 圆内平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直该弦； 圆内过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所对的弧； 圆内垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且平分该弦； 圆内过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该弦。
四.命题的同一 互为逆否的两个命题是等价的，互逆或互否的两个命题未必等价。
但是，当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念的外延完全相同，是同一概念时，这个命题和它的逆命题等价，这叫做同一原理。
例如，“等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线”是真命题，它的条件和结论都是唯一的，条件和结论所指的概念的外延完全相同，是同一条，它的逆命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线”也必定为真命题。
同一原理是论证的逻辑根据。
对于符合同一原理的两个，在判断它们真假时，只要判定其中的一个即可。
在制作逆命题时，如果原定理的条件和结论都唯一存在，就可直接写出它的逆命题而断言其成立。
例如，对于上面的例子，由同一原理，便可直接得到它的五个逆定理。
五.命题的条件 为了简明地表达命题中条件和结论的逻辑关系，我们把数学命题的条件分为以下几种： 若命题p→q真，则称p是q成立的充分条件； 若命题q→p真，则称p是q成立的必要条件； 若命题p→q与q→p同真，则称p是q成立的充分必要条件，简称充要条件； 若命题p→q与q→p同假，则称p是q成立的既不充分也非必要条件。
在教学中，还必须区分以下两种类型的条件。
若命题p→q真而q→p假，则称p是q成立的充分而非必要条件， 若命题p→q假而q→p真，则称p是q成立的必要而非充分条件。
以上所揭示的命题的条件和结论之间的内在联系，可以用来指导。
要证明一个命题成立，只要证明能使这个命题成立的一个充分条件成立就足够了；要证明一个命题不成立，是要指出的这个命题成立的一个必要条件不具备就可以了。
六.分断式命题 数学上，对于由n个命题pⅰ→qⅰ（i=1,2,…，n）联合起来叙述而成的一个命题K，而这n个命题的条件pⅰ和结论qⅰ（i=1,2,…，n）所含事项，双方都面面俱到（各种可能情况全都说到，没有遗漏）且互不相容（彼此之间互相排斥，没有重复）时，则称命题K为分断式命题。
例如，“在△ABC中，若AB＜AC，则∠C＜∠B；若AB＝AC，则∠C＝∠B；若AB＞AC，则∠C＞∠B。
”就是一个分断式命题。
分断式命题与它的逆命题等价。
设原命题pi→qi（i=1，2，…，n）为真，从中取出n–1个，比如pi→qi（i=2，…，n）。
则由分断式命题的定义，这n–1个命题联立起来，实质上就是「p1→「q1为真。
因为互为逆否的命题等价，所以q1→p1为真。
同理有qK→pk为真。
所以，逆命题qi→pi（i=1，2，…，n）为真。
由此可知，一个分断式命题如果是正确的，它的逆命题（也是分断式命题）也一定正确，而且可以直接当逆定理来用。
在中学数学中，还有不少分断式命题。
例如，一元二次方程根的判别定理，直线的与斜线的定理，点（或直线）与圆的位置关系定理，两圆的位置关系的定理等等。
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一个命题的否定与它的否命题有什么关系若p则q形式的命题的否命题和否定分别是什么
四种命题间的逆否关系
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