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这么做：
先证明当x>=0时，ln(1+x)<=x
证：构造函数f(x)=x-ln(1+x)
对f(x)求导：f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)
当x>0时f'(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函数
所以f(x)>=f华日白(0)=0
即x-ln(1+x)>=0
所以ln(1+x)<=x
证毕。
接下来回到原题的证明:
可知Sn=1/2+2/3+...+n/(n+1)=1-1/2+1-1/3+...+1-1/(n+1)=n-[评毛食谓鲜比1/2+1/3+..+1/(n+1)]
由上已证得的结论可得：
ln(1+1/2)<1/2
也即ln(3/2)<1/2
所以ln3-ln2<1/2
同理有：ln4-ln3<1/3
...
ln(n+1)-lnn<1/n
ln(n+2)-ln(n+1)<1/(n+1)
以上各式相加得到：
ln(n+2)-ln2<1/2+1/3+...+1/(n+1)
所怀以Sn=n-[1/2+1/急利线题配3+..+1/(n+1宣心往李武办)]<n-ln(n+2)+ln2=n-ln[(n+2)/2]
所以Sn<n-ln[(n+2)/2]成立
证毕。 内容来自网友回答
设x>0,y>0,证明不等式（x^2+y^2)^1/2>(x^3+y^3)1/3 (1)用分析法证；（2）用综合法证
不等式的综合
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